zad3 3

Zadania z „Elementów procesów stochastycznych”

Lista 3

Zad. 18. Pokazać z definicji, że wszystkie stany łańcucha opisanego w zad. 13 są powracające.

Zad. 19. Poklasyfikować stany łańcucha o macierzy przejścia P, znaleźć P² i zbadać asymptotyczne zachowanie Pij(n).

- 1/2	0	1/2	0	0
1/4	1/2	1/4	0	0
1/2	0	1/2	0	0
0	0	0	1/2	1/2
0	0	0	1/2	1/2

Zad. 20. Załóżmy, że łańcuch o macierzy przejścia P

P11	P12 •	■ ■ Pld
P21	P22 ■	■ ■ P2d
Pdi	Pd2 ■	• • Pdd

jest nieprzywiedlny. Niech wszystkie elementy na przekątnej będą dodatnie tzn. pa > 0 dla i = 1,2,..., et Pokazać, że wówczas istnieje takie n, dla którego macierz Pⁿ ma wszystkie wyrazy dodatnie.

Zad. 21. Cząstka porusza się pomiędzy stanami 0, 1, 2, 3 i 4 w taki sposób, że: za stanu    1 może    skoczyć    do stanów 0,    2    lub 4 z prawdopodob.

ze stanu    2 może    skoczyć    do 0,    1    lub 3    z    prawdopodob.

ze stanu    3 może    skoczyć    do 0,    2    lub 4    z    prawdopodob.

ze stanu    4 może    skoczyć    do 0,    1    lub 3    z    prawdopodob.    |.

Stan 0 jest pochłaniający.

Napisać macierz przejścia. Pokazać, używając definicji, że stany 1, 2, 3 i 4 są chwilowe. Niech dla n > 1

q_n = P(X₁^0,X₂^0,...,X_n.₁^0₁Xn = 0\Xo = l).

Obliczyć q_n. Pokazać, że z prawdopodobieństwem 1 stan 0 pochłonie cząstkę.

Zad. 22. Niech pierwszy wiersz macierzy P ma postać [aj, 02,...], a w pozostałych wierszach Pjj-i = 1. Udowodnić, że stan 1 jest powracający i wywnioskować stąd, że pozostałe stany też są powracające. Wskazówka: Obliczyć

Zad. 23. Pierwsza kolumna macierzy P ma postać qo, q\,..., natomiast Pi_ti+1 = 1 — q, dla i = 0,1,2,.... Pokazać, że a) jeśli qi — (^)’ ^{+ 1}, to wszystkie stany są chwilowe; b) jeśli </,- = 5, to wszystkie stany są powracające.

Wsk. Zbadać najpierw stan 0.

Zad. 24. Znaleźć stacjonarne rozkłady początkowe dla łańcucha o macierzy przejścia opisanej w zad. 12.

Zad. 25. Załóżmy, że macierz przejścia P jest taka, jak w Zad. 12 oraz P(Yq — 0) = p. Korzystając z wyników Zad. 12 obliczyć

lim P(Y_n — i) dla i = 1,2.

Dla jakich p łańcuch jest stacjonarny? Czy łańcuch jest ergodyczny? Obliczyć    a następnie lim_n_Kx, E{Y_n).

Zad. 26. Sprawdzić czy łańcuchy o zadanych macierzach przejścia są ergodyczne:

P =

' 1	0	0 ‘			9	P	0 '
9	0	P	p + 9 = 1, p,q > 0.	b) P =	9	0	P
_ 0	0	1			_ 0	9	P .

p + 9 = 1, p,q > 0.

P =

1/2

1/2

0

0

1/2

1/2

0

0

0

o

1/2

1/2

o

o

1/2

1/2

Jeśli tak, to wyznaczyć prawdopodobieństwa ergodyczne.