0045

46

I. Teoria granic

29. Lematy o ciągach zbieżnych do zera. W dalszych twierdzeniach będziemy rozważali jednocześnie dwa ciągi (lub więcej), poddane działaniom arytmetycznym. Przy tym, jak zwykle, działania arytmetyczne wykonujemy na wyrazach ciągów o zgodnych wskaźnikach. Na przykład mówiąc o sumie dwóch ciągów {x_n} i {y„} przebiegających kolejno wartości

j X₂ » *^3 » • • ■ s X_n , ...

oraz

•••»>'„, ••• .

mamy na myśli ciąg {x_n+y_n} przebiegający kolejno wartości ^i+y_i,x₂ + y₂,x_i+y₃.....x„+y_n, ...

Przy dowodach twierdzeń o przejściu do granicy w działaniach arytmetycznych, szczególną rolę odgrywają następujące dwa lematy o ciągach zbieżnych do zera.

Lemat 1. Suma dowolnej skończonej liczby ciągów zbieżnych do zera jest także ciągiem zbieżnym do zera.

Przeprowadzimy dowód dla przypadku dwóch ciągów zbieżnych do zera {«„} i {/?„} (ogólny przypadek traktujemy analogicznie).

Niech dana będzie liczba £>0. Zgodnie z definicją ciągu zbieżnego do zera do liczby e dla ciągu {a„} zbieżnego do zera można dobrać taki wskaźnik N', że przy n>N' jest

|^a«i <ł^£ •

Dokładnie tak samo dla zbieżnego do zera ciągu {/?„} istnieje taki wskaźnik N", że przy n>N" jest

Jeżeli wziąć liczbę naturalną N większą od obu wskaźników N' i N", to przy n>N spełnione są te dwie nierówności jednocześnie, a więc

K + ft,|<|a_n| + |ft,|<łe + ł£ = s.

Wynika stąd, że ciąg {«„+/?„} jest zbieżny do zera.

Lemat 2. Iloczyn ciągu ograniczonego {x„} przez ciąg zbieżny do zera {a„} jest ciągiem zbieżnym do zera.

Niech dla wszystkich n będzie

Przy danej dowolnie liczbie £>0 dobieramy do liczby e/M dla ciągu {a„} zbieżnego do zera taki wskaźnik N, że dla n> N jest