25850

1.2 GRANICE CIĄGÓW

Def. 1.2.1 (granica właściwa ciągu)

Ciąg (a„) jest zbieżny do granicy właściwej a, co zapisujemy

wtedy i tylko wtedy, gdy

o|<f)

n > n„

a v A

f>0 rfccW neAf

Obrazowo, ciąg jest zbieżny do granicy a, gdy dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu leżą dowolnie blisko punktu a. Zamiast równości i*J2^0,,=0 można pisać    >o, można

również pisać krótko lim o„ = o lub a_n —» a.

Tw. 1.2.2 (o jednoznaczności granicy ciągu)

Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Def. 1.2.3 (granice niewłaściwe ciągu)

Ciąg (a„) jest zbieżny do granicy niewłaściwej©©, co zapisujemy

lim a_n =oo

n-»~    "

wtedy i tylko wtedy, gdy

a v A

E>On„ęNneN

n>n₀)=>(a_n >£)]

Obrazowo, ciąg jest zbieżny do ©o, gdy dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolnie dużej liczby. Zamiast równości ^°i ⁼°° można pisać o„ —>°°, można również pisać krótko limo_n = °© lub o_n —> °©.

Ciąg (o„) jest zbieżny do granicy niewłaściwej -©©, co zapisujemy

lim a_n = -©o

n-*~ ⁿ

wtedy i tylko wtedy, gdy

£,X.«^A>^>n°^1=>k<£)l-

Obrazowo, ciąg jest zbieżny do -©©, gdy jego dostatecznie dalekie wyrazy są mniejsze od dowolnie małej liczby. Zamiast równości    ^=_co można pisać o_n—_n_^ )-°°, można również pisać

krótko lima_n =-<» lub o_n ->-©©.

Uwaga. Ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej, nazywamy ciągami rozbieżnymi. Przykładami takicli ciągów są: o_u = (-1)",    = sin W niektórych podręcznikach ciągi zbieżne do

«» lub -©o nazywa się ciągami rozbieżnymi ©o lub -©©.

Fakt 1.2.4 (o niezależności granicy od początkowych wyrazów ciągu)

Granica ciągu zbieżnego do granicy właściwej lub niewłaściwej nie zależy od wartości skończenie wielu wyrazów tego ciągu.

Fakt 1.2.5 (granice ciągu geometrycznego)