073

4.L Definicje

73

zwaną statystyką „S kwadrat z daszkiem”.

Jest łatwe do sprawdzenia, że EX = EX, gdy X jest cechą w populacji generalnej, gdzie (Xj ,X₂,... ,X_n) jest próbą prostą z tej populacji oraz wartość oczekiwana istnieje. Trudniej już sprawdzić, że ES² = D²X, co oznacza, że

ES² = D²X. n

Jak zawsze, wartości statystyk (4.1.1), (4.1.2) i (4.1.3) oznaczamy małymi literami s² i s².

4.1.3. Rozkłady wybranych statystyk

W wielu przypadkach ważna jest znajomość rozkładów różnych, często stosowanych statystyk.

Twierdzenie 4.1.1.

Jeżeli X_{,X₂,... ,X_n jest próbą prostą z populacji o rozkładzie normalnym, to

I/=—^~N(0,1).    (4.1.4)

<7

Dowód. Z twierdzenia 2.4.2 wynika, że Xj H-----\-X_n ~ N(nm,Oy/n). Sumę

tę wystarczy unormować:

X_l H-----b X_n — nm

Zatem U ~ N(0,1).

X_l H-----b — nm

cm

X — m a

Trudniej jest wykazać następujący ważny wynik. Twierdzenie 4.1.2.

Jeżeli X_}, X₂,..., X_n jest próbą prostą z populacji o rozkładzie normalnym, to statystyka

nS² _ (n-])Ś² a² a²

(4.1.5)

ma rozkład chi-kwadrat on — 1 stopniach swobody.

Zaskakujący jest wynik następujący.

Twierdzenie 4.1.3.

Jeżeli cecha X w populacji generalnej ma rozkład normalny, to statystyki X i S² są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Należy zwrócić uwagę, że X i S², o których mowa w twierdzeniu 4.1.3 pochodzą z tej samej próby.

Z twierdzeń 4.1.1, 4.1.2 i 4.1.3 oraz z definicji rozkładu r-Studenta (2.4.13) wynika