CCF20091117015

67

67

Granice funkcji - definicje

•przednim rozdziale intuicyjnie ustalaliśmy granice funkcji na podstawie ich Esów. Uściślimy teraz pojęcie granicy, podając formalne definicje.

MCE FUNKCJI W NIESKOŃCZONOŚCI

f(x) =

y funkcję określoną wzorem:

2x

x - _v'x

t wykres przedstawiony jest na ry-5SUU»_ obok. Na rysunku tym na osi x ^Spaczono trzy argumenty: xi, x₂ i x^.

2 że odpowiadające im wartości f są coraz mniejsze. Można się r.rać, czy funkcja f ma w +«> a jeśli ma, to jaką.

y następujący ciąg argumentów⁷ rozbieżny do +oo.

9	16	25	36	101^2	1001^2
i	i	i	i	i
x2	*3	x4	*5	Xioo	^1000

tar • funkcji f odpowiadające kolejnym wyrazom tworzą ciąg liczb:

2,(6)

i

2,5

i

2,4

i

f(X₂)    f(x₃)    f(x₄)    f{x₅)

2,02

i

f(x100)

2,002

i

f(x 1000)

aent x_n jest większy, tym wyraz f(x_n) jest bliższy liczbie 2. Ciąg (f(x_n)) jest 7 do 2, gdyż dowolnie blisko liczby 2 znajdują się prawie wszystkie wyrazy

się, że gdybyśmy wybrali jakikolwiek ciąg argumentów rozbieżny do +oo, iadający mu ciąg wartości funkcji f zawsze byłby zbieżny do 2. W takiej mówimy, że granicą funkcji f w plus nieskończoności jest liczba 2. Zatem:

lim f(x) = 2

X —* 4-00

obny sposób, za pomocą ciągów, definiujemy granicę właściwą dowolnej w plus nieskończoności:

funkcja f będzie określona w przedziale (a;+oo). Liczba g jest granicą ~i f w plus nieskończoności, czyli lim f{x) = g, jeśli dla każdego ciągu ar-

X —+oo

tów⁷ (x„) rozbieżnego do +oo odpowiadający mu ciąg wnrtości funkcji (f(x_n)) zbieżny do g.