CCF20121001003

Otoczenie punktu x0 o promieniu 8 : U(xq,S) U(xq,S) = {x e R :\x - xq\< S} = (xq-S,xq+S) X		POJĘCIE I WŁASNOŚCI CIĄGU Ciągiem nazywamy funkcję postaci:
x0 -8 x0 xr0 +8		f:N^R An)=an
Sąsiedztwo punktu j:0 o promieniu 8 :S(xq,Ć>) S(xq,S)= {x e R:0 <Ix-xqI<S} S(x0,S) = (x0-S,x0)u(x0,x0+8)		Ciąg {an} nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy V A an<M MeR neN
		Ciąg {«„} nazywamy ograniczonym z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy V A an>m meR neN
x0 -8 x0 .v() +8 S(x0,S)u{x0} = U(x0,S)
Sąsiedztwo lewostronne (prawostronne) punktu x0 o promieniu 8: / \ (jcq 2^s) = (^x0 - ^S’ *0) (s^+ (x0,8) = (x0, x0+&))		Ciąg {an} nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy , gdy jest ograniczony z góry i z dołu.

Ciąg {«„} nazywamy rosnącym (malejącym) wtedy i tylko wtedy gdy

A a_n+l - a„ >0 I A a_n+l - a_n < 0 ]

neN    \neN    )

Ciąg {«„} nazywamy niemalejącym (nierosnącym) wtedy i tylko wtedy gdy

A a_n+1 -a„> 0 I A a„₊i - a_n < 0

neN    KneN    )

CIĄGI LICZBOWE I ICH GRANICE Definicja: Ciąg {«„} jest zbieżny do liczby a:

lim a_n=a<^> A V A \a_n-d\<s

e>0 8 n>8

Zachodzi:

\a_n-a\<e <=> a_n e(a-s;a + e) a-s a a + E

Przypomnieć określenie ciągu arytmetycznego i geometrycznego oraz ich własności    21

tu znajdują się wszystkie wyrazy ciągu od numeru n>8 wzwyż, czyli wszystkie poza skończoną liczbą (prawie wszystkie)

Przykład ciągu {a_n}:

1

n

Należy pokazać, że A V A - 0 < £.

e>0 8 n>8 \n

0    0.1    0.2    0.3    0.4    0.5    0.6    0.7    0.8    05    1

0    0.01    0.02    0.03    0.04    0.05    0.06    0.07    0.08    0.09    0.1

lim

n —» +oo

n

23

i i

Niech e>0. Mamy = <s \n n

Stąd n > —.

s

Istnieje zatem taka liczba g np. 5 = —

s

że dla każdej liczby naturalnej n > 8 zachodzi

— - 0 n

czyli 0 jest granicą ciągu {«„} o wyrazach a_n

n 24