P4130264

Dowód (kontynuacja).

Niech teraz q_n = c\\X^ - r||. Mnożąc przed chwilą otrzymaną nierówność

- r|| < c\\XW - r||²

przez c otrzymujemy nierówność qr„₊₁ < g². Łatwo pokazać indukcyjnie, że q_n < cjo". Istotnie, dla n 0 jest ona oczywista. Jeśli

spełniona jest ona dla n = k, to g*₊₁ <    < (cło) = cjo⁺\ c.n.d.

indukcyjnie. Nierówność q_n+i < q%ⁿ oznacza

c\\XW - r|J < (c||X<°> - r||)²",

skąd wynika teza twierdzenia, ponieważ c||X(°) — r|| < cb < 1, tj.

Ic\\X(°) - rj| < 1 i dlatego lim^oo = r.

Uwaga:

'^,(c|l*⁽⁰⁾ - fil)²" <* jeśli n> — log₂ ^l09g(|^^ — ~ l°9₂lofe \

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)