Układy równań liniowych
1

112

Układy równań liniowych

bx+y + 2z+s-t+Q_u = 2

^c)

-Hi -    3y    -9z    -    2.5    +    At    -    15u    =    -5

lAx -+-    y    +    2z    +    3s    +    2t    +    13-u    =    6

3x —    2y    -    7z    +    s    +    6t    -    2u    =    1

2x +    3 y    +    9 z    —    7t    +    8u    =    i

Rozwiązanie

Metoda kolumn jednostkowych jest praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa -Jordana. W przypadku dowolnych układów równań celem postępowania jest doprowadzenie kilku kolumn macierzy układu do postaci jednostkowej (tzn. z jedną jedynką i resztą zer) tak, aby „jedynki” w wyróżnionych kolumnach znajdowały się w różnych wierszach. Wybór kolumn do przekształceń jest dowolny. Najlepiej jest brać kolumny zawierające „małe” liczby całkowite, „dużo” zer, a wyróżniony niezerowy element powinnien znajdować się w wierszu dotąd nic wybieranym. Samo przekształcenie kolumny wykonujemy dokładnie tak, jak dla układu Cramera (patrz Przykład 4.13). W stosunku do układów Cramera w przypadku dowolnych układów równań mogą w trakcie postępowania pojawić się wiersze zerowe - wtedy je skreślamy, wiersze równe lub proporcjonalne - wtedy skreślamy jeden z nich. Może się zdarzyć, że w macierzy rozszerzonej układu pojawi się wiersz zerowy z jednym elementem niezerowym w kolumnie wyrazów wolnych. Taki układ równań jest oczywiście sprzeczny. Jeśli tak się nie zdarzy, to postępowanie kończy się wtedy, gdy liczba wyróżnionych kolumn jest równa liczbie wierszy, które pozostały w macierzy. Rozwiązanie układu odczytujemy teraz z końcowej postaci macierzy, wyróżnione „jedynki” wskazują zmienne zależne.

Uwaga. Przy wybieraniu wyróżnionych kolumn oraz ich niezerowych elementów mamy pełną dowolność. Jednoznacznie określona jest tylko liczba tych kolumn, ale pojawia się ona w naturalny sposób na końcu postępowania, a) Przekształcamy macierz rozszerzoną układu równań otrzymując

' 4 3 5 7	2'		'0-5-3 -1	6'
2-113	4	pi - 4u.3	0 -5 -3 -1	6
1 2 2 2	-1	“a I	12 2 2	-1
.3 13 5	3		.0 -5 -3 -1	6

	i oo 9	— 1		1 —8—4 0	11'
—*	X. 0 5 3 1	1 -6		0 5 3 1	-6

W formie rozwiniętej układ równań przyjmuje postać

( x - 8y — 4z =11 ( 5y + 3 z + u — — 6 ’

zatem jego rozwiązanie można zapisać wzorami x = 11 + 8y + 4z, u = — 6 — 5y — 3z, gdzie y,z € K.

b) Postępując według tej samej metody otrzymamy

' 2	9	6	-2	-3	5 '		' 0	5	8	0	-13	-5 '
1 -2	2 -7	-1 1	-1 3	5 -4	5 -5	— 2w?2 : tt’3 4 2u>2 -* tŁ>4 -f- U‘*2	1 0	2 -3	-1 -1	-1 1	5 6	5 5	tP'2 TT ti/jj u’4 —
_ -1		-1		6			0	-3	_o	o	11	9.
	—5		3		4 _				— X	u

Przykłady

113

—o

10

5

-1

“5 i- 2u.', + U>!

0    5    8 0 -13

1-1-2 0 11 0-3-11    6

0    3    00-1

8'

-1

-1

1_

1

-1

-1

1

0    -34    8    0    0

1    32    -2    0    0

O 15 -1 1 O O -3    0    0    1

100

4

32 -2 O O 15 -1 1 O -3 O O 1 17

0    ----- 10 0

4

47

1    y o o o

0 jOIO 0    -3 0 0 1

zatem i ostatecznie 2 = 1— -^-y, z = 1 +

-y! s = --T- y, t = 1 + 3y, gdzie y € :

c) Rozwiązanie tego przykładu znajdziemy dość szybko, bowiem mamy

x +

17
	* = 1
47
Y^y	= 1
43 T^y	+ 5 = 0
3 y	+ t = 1
17	43

5	1	2	1	-1	6	2
-11	-3	-9	-2	4	— 15	-5
14	1	2	3	2	13	6
3	-2	-7	1	6	-2	1
2	3	9	0	-7	8	1

Tb

oznacza, ze

5 1	2	1	-1	6	2'
4 0	-3	1	1	3	1	mm
9 0	0	2	3	7	4	Sili
13 0	-3	3	4	10	5
13 0	3	-3	-4	-10	-5

— W 4

3 x + y + 17 2 3x    — 9 z + s

x    + 6z

"1	1	5	0		to	3	r
4	0	-3	1		1	3	1
1	0	6	0		1	1	2
.1	0	6	0		1	1	2.
‘3	1	17	0	0	5		5'
3	0	-9	1	0	2		1
. 1	0	6	0	1	1		2.
	+	5 u	—		o
	+	2 u	=		-1	J
t		u	=		2

,2W3;