0125

127

§ 4. Niektóre zastosowania całek oznaczonych

Hermite udowodnił, że liczba e Jest przestępna (')• Podamy teraz dowód tego twierdzenia. Przypuśćmy, że e jest pierwiastkiem równania

(1)    c₀+Ci e+c₂e²+...+c»e" = 0,

którego współczynniki są liczbami całkowitymi.

Niech we wzorze (7) z ustępu 311 u = f(x) będzie dowolnym wielomianem stopnia n, at) = (—1)"⁺¹ e^-*. Wtedy dla a = 0 wzór ten przyjmuje postać

jf(x)e~*dx = -*-’[/(*)+/'(*)+ ...    ,

o

gdyż oczywiście /"^+l(x) — 0. Oznaczając krótko

/«+/'«+ -. +/^,’^,M = F(x),

mamy wobec tego

<r*F(0) = F(»)+e* / f{x) dxe~*dx .

o

Podstawiajmy w tym wzorze kolejno b = 0, 1, 2,..., m; mnożąc otrzymane równości odpowiednio przez c₀, Ci, c₂,..., c„, a następnie dodąjąc je stronami, dojdziemy ostatecznie, po uwzględnieniu (1), do następującej równości:

(2)    0 = co F(0)+_Cl F(l)+ ... +c* F(/n)+ J c, e' / /(*) e~*dx .

i-o o

Przypominamy, że równość ta powinna być spełniona dla dowolnego wielomianu /Cr). Pokażemy teraz, że można dobrać taki wielomian /Cc), dla którego równość (2) jest niemożliwa; tym samym twierdzenie będzie udowodnione.

Rozpatrzmy w tym celu wielomian

/« = 7—x”-'(x-mx-2y ... cx-mv,

(/»—1)!

gdziep jest liczbą pierwszą większą zarówno od m, jak i od |co|. Pochodne tego wielomianu rzędu wyższego od p— 1 są wielomianami o współczynnikach całkowitych, podzielnych przez p. Wynika to bezpośrednio z tego, że iloczyn p kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez p\. Dlatego dla dowolnej całkowitej wartości x wszystkie te pochodne przyjmują wartości całkowite będące wielokrotnościami p. Ponieważ dla jc = 1, 2, ..., m wielomian/(jc) i jego pierwsze p—1 pochodnych przyjmują wartość 0, więc liczby /■(l), F(2).....F(m) są całkowite i podzielne przezp.

Inaczej jest z F(0). W punkcie x = 0 są równe zeru tylko wielomian f(x) i p—2 kolejnych jego pochodnych, a więc

F( 0) =/^<'-¹>(0)+/^<'>(0)+ ...

Wiemy już, że wszystkie składniki tej sumy poczynając od drugiego są całkowitymi wielokrotnościami liczby p. Jednakże (0) = (—l)'ml, a wraz z tym F (0) nie jest podzielne przez p. Ponieważ przy przyjętych założeniach o liczbie p również c₀ nie jest podzielne przez p, wnioskujemy stąd, że pierwsza suma stojąca po prawej stronie równości (2) jest liczbą całkowitą niepodzielną przez p, a więc na pewno różną od zera.

(‘) W ślad za tym F. Lindemann udowodnił przestępność liczby rc i w ten sposób pokazał, że stare znane zadanie o kwadraturze koła jest nierozwiązalne.