DSC07152 (4)

232

Zastosowanie całek oznaczonych

Zastosowania w fizyce

• Przykład 9.8

a)    Jaką pracę należy wykonać, aby ciało o masie m podnieść z powierzchni Ziemi na wysokość A?

b)    Zbiornik na ropę ma kształt walca o osi pionowej. Średnica walca wynosi D = 2 m, a wysokość H = 3 m. Zbiornik jest napełniony ropą do poziomu A = 1 m. Obliczyć pracę jaką trzeba wykonać, aby górą wypompować ropę ze zbiornika. Masa właściwa ropy wynosi 7 = 700 kg/m³.

Rozwiązanie

a) Na wysokości r nad powierzchnią Ziemi na ciało o masie m działa siła grawitacyjna F(z) =    gdzie Af oznacza masę Ziemi, R jej promień, a G jest stałą grawita

cyjną. Zatem praca przy podnoszeniu ciała o masie m na wysokość A wyraża się wzorem

S    A

b) Niech oś Ox będzie skierowana w dół (rysunek). Przedział \H - A, H\ dzielimy na n przedziałów o długości Ali. Podział ten (oznaczamy go przez P) generuje podział ropy na warstwy walcowe o grubości Axi i średnicy D. W każdym z przedziałów tego podziału wybieramy punkty pośrednie o współrzędnych x\. Praca jaką musimy wykonać, ahy podnieść i-tą warstwę ropy na górę zbiornika jest równa

n²

«=^fr5,

gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie. Całkowita praca, jaką musimy wykonać jest zatem równa    H

W = lim

*>*)—o

SI|ig

4

/i

1

xdx =

Zadania

233

*PS a

A

H

H-h

^22 (2Hh-h’) =

es 53933 [J|.

• Przykład 9.9

a)    Ciało wykonuje drgania wzdłuż osi Ox z szybkością v(t) = uócoswót, gdzie vq, u»o są stałymi. Znaleźć położenie ciała w chwili tj, jeżeli w chwili tj znajdowało się ono w punkcie xj;

b)    Samolot zwiadowczy S i rakieta R, która ma go zestrzelić, poruszają się po prostej. W chwili t = 0 odległość między nimi wynosiła d = 9 [km). Szybkość samolotu w chwili t, gdzie t > 0, wyraża się wzorem v,(t) = 1 +16( [km/min], a szybkość rakiety v„(t) = 1 + 4ł^s [km/min]. Po jakim czasie rakieta trafi w samolot?

Rozwiązanie

a)    Niech x(t) oznacza położenie ciała w chwili t. Wtedy

i

x(t) = *1 + JI>(r) dr

I

= ii + /uocoawor dr

■ i

= xt -I- [— sinworl =xi + — (sinuot-sinwoti).

Lwo    Ji,    wo

Podstawiając w tym wzorze i = tj otrzymamy

x(tj) = xi + — (sinwo<2 — sin wolt).

<•*0

b)    Niech v(t) = v_H(t) — v_s(t) oznacza szybkość, z jaką w chwili t rakieta zbliża się do samolotu oraz niech T oznacza czas, po którym nastąpi zestrzelenie samolotu. Wtedy mamy

T

J v(t) dt = d,

o

czyli

T

J [(4t³ + l)-(16t+l)] dt = 9.

0

St$d otrzymamy równanie

T* - 8T^a - 9 = 0.

Jedynym dodatnim rozwiązaniem tego równania jest T - 3, zatem samolot zostanie zestrzelony po 3 minutach.