005

1 ZAVEDENI A ZAKLADNI VLASTNOSTI KOMPLEXNICH ĆISEL

Non est ad astra rnollis e. terris via. Nem lehka cesta ze żerne ke hvezdam.

1.1 Składni vlastnosti ćlsel redlnych

Pfipomeńme si nejprve nektere vlastnosti realnych ćlsel. Je vam jiste znaino, że mnożina R vsech realnych ćlsel se składa ze dvou disjunktnlch podmnożin, z nichż jedna je tvofena clsly racionalmmi a druha clsly iracionalrhmi. Każde racionalnl ćfslo lze vyjadrit jako

r

podli - , kde r, s jsou cela clsla, s ^ 0; racionalmmi clsly jsou tedy

ćlsla prirozena i cela. Iracionalni clsla nelze vyjadrit jako podli celych ćlsel - jsou to napr. ćlsla \/2, ^3,7t, log 6, sin |n atd. Mnożina R ma du-leżitou vlastnost: existuje vzajemne jednoznaćne zobrazenl mnożiny R na mnożinu vśech bodu prlinky. Znamena to, że każdemu realnemu ćlslu lze pfifadit jediny bod zvolene prlmky a take obracene każdemu bodu teto prlmky odpovlda jedine realne ćlslo.

Jiste take vlte. że sćltanl a nasobenl realnych ćlsel ma nasledujlcl vlastnosti:

Soućet i soućin każdych dvou realnych ćlsel jc realne ćlslo.

Sćltanl a nasobenl realnych ćlsel je komutativnl, coż znamena, że pro vśochna x, y 6 R piat! x + y = y + x a xy — yx.

Sćltanl a nasobenl realnych ćlsel je asociativnl, coż znamena, że pro vśechna x, y, z € R piat! x + (y + z) = (x + y) + z a x(yz) = (xy)z.

Nasobenl realnych ćlsel je dist.ributivnl vzhledem ke sćltanl, coż znamena, że pro v§echna jr, y, z € R piat! x(y + z) — xy + xz.

Ke każdemu realnemu ćlslu x exiśtuje jedine redlne ćlslo x' tak, że piat! x + x' — 0.

Ke każdemu nenulovemu realnemu ćislu y existuje jedine realne ćislo y¹ tak, że piat i y ■ y' = 1 •

Je-li soućin dvou realnych ćisel roven nule, je rovno nule aspoń jedno z nich.

Pfedposledni dve z techto vlastnosti umożńuji zavest odćitani (odcćist ćislo p znamena pfićist ćislo opaćne, tj. ćislo —p) a deleni (delit

ćislem p ^ 0 znamena nasobit ćislem prevracenym, tj. ćislem - ).

V oboru realnych ćisel lze tedy bez omezeni sćitat, odćitat, nasobit a dćlit nenuloyym ćislem; yysledkem je vżdycky realne ćislo. V dusledku toho ma v tomto oboru każda linearni rovnice ax + 6 = 0.

kde a, b € R. 0, reseni: x = — . Pro rovnice yysśich stupmi uż

a

toto tvrzeni neplati: je vam znamo, że kvadraticka rovnice se zapor-nym diskriminantem nema realne koreny. V tomto smeru neni tedy obor realnych ćisel dokonały: existuji rovnice s realnymi koeficienty, ktere nemaji żadne realne koreny. Av§ak vzato cistę logicky z faktu. że nćjaka rovnice s realnymi koeficienty nema realne koreny, vubec neplyne, że nema koreny jine: neexistuji ćisla (dosud neznama), ktera teto rovnici vyhovuji? Pokusime se takovato ćisla najit. Pri jejich hle-daiii budeme postupovat takto: budeme predpokladat, że ćisla, ktera jsou koreny kvadratickych rovnic se zapornym diskriminantem, exi-stuji, a pokusime se na zaklade tohoto predpokladu odvodit jejich ylastnosti a zjistit pravidla, podle kterych se tato ćisla sćitaji a naso-bi. V souladu s odvozenymi vlastnostmi budeme tato ćisla definovat a zavedeme pro ne operace sćitani a nasobenl tak, aby vyhovovala zjis-tćnyrri pravidlum. Ukaże se pak, że tato ćisla vytvori obor, v nemż lze bez omezeni (s yyjimkou deleni nulou) sćitat, odćitat, nasobit a delit a v nemż nejen każda linearni a kvadraticka rovnice, ale vubec każda algebraicka rovnice jakehokoliy stupnć ma reśerii; ćasti tohoto oboru budę obor ćisel realnych.

9