1954 Geometria 342

16.    Urcte povrch zrezaneho ihlana, ak ma podstayy kosostvorce,

których obsahy su v pomere m² : n²(m > n > 0); strana vacsieho kosostvorca rovna sa o; jeho jedna uhlopriecka je %(% > a); stredy obidyoch podstay leżia na spolocnej kolmici na podstayy. Vyśka zrezaneho ihlana je v.    \

ćiselne: m — 1, n — 3, a = 25 cm, u_x = 30 cm, v — 13,5 cm.

17.    Urcte rozmery prayidelneho zrezaneho śtvorbokeho ihlana, ak vie-te, że sucet obsahov jeho podstay rovna sa m, piast p a odchyłka bocnej steny od podstavy «.

Ćiselne: m = 75 cm², p = 110 cm², <% = 60°.

18.    tlplny ihlan je ypisany do prayidelneho zrezaneho stvorbokeho ihlana tak, że jeho podstavou je mensia podstava zrezaneho ihlana a vrchol ypisaneho ihlana je v strede vacsej podstayy zrezaneho ihlana. Podstayne hrany su a, b (a >b). Akej podmienke musi vyhovovat a, b, ak żiadame, aby piastę oboch telies boli rovnake ?

19.    Każdymi troma stredmi hran kocky, które yychadzaju zo spoloc-neho yrcholu, je urcena royina, która oddeluje z kocky trojboky ihlan. Urcte povrch zyysujuceho telesa, ak je dana hrana kocky a.

3. Poyreh gule a jej casti

Pomocou nasej definieie yelkosti povrchu urcime pomerne fahko povrch gule.

Veta 5. Poyreh gule royna sa styornasobku ohsahu kruhu obmedze-neho hlaynou krużnicou.

Dokaż. ZvoIme si IubovoIne kladne q a zostrojme k danej guli teleso T_e (na obr. 84 je zobrazeny rez telesa T_e s rovinou prechadzaju-cou stredom gule).

Ak je (> < r, dostaneme teleso T_ff ako rozdiel gul o polomeroch r + g, r — o. Potom objem F_e telesa T_Q

V_e = y ^^r + e)³ —    — o)³ =    tiq{3r² + q²);

z toho

także limit postupnosti priradenej danej guli rovna sa 4nr², t. j. poyreh gule rovna sa 4?rr² — tak ako sme uyiedli vo vete 5.

Poznamka. Ked oznacime povrch gule o polomere r pis men oni P, potom móżeme tvrdenie vety yyjadrit vzorcom

P = 4nr².

V dalsom urcime obsah yrchiika a gu!oveho pasa.

Veta 6. Obsah yrchiika rovna sa sucinu dłżky hlaynej kruŻnice prl-sluSnej guloyej płochy a yysky yrchiika.

Obr. 84    Obr. 85

Ak r je polomer guloyej płochy a v vel’kost yyśky yrchiika, je obsah P yrchiika dany yzorcom

P = 2nrv.

Vetu 6 nebudeme dokazoyat. Aj na prvy pohlad je zrejme, że yeta plati aj v osobitnom pripade, ked v = r; v tom pripade je yrchlik jednou z dvoch navzajom zhodnych casti gul’ovej płochy; jeho obsah

je ■

4nr² = 2nr. r.

Secna rovina rozdeluje gulovu plochu na dva yrchliky. Jeden ma ' yyśku v, druhy yyśku 2r — v. Podrą vety 2 ma sa obsah gul’ovej płochy rovnat suctu obsahoy obidyoch vrchlikov. V skutoćnosti aj plati

2nrv -j- 2nr(2r — v) — 4nr².

Cloha 1. Urcte obsah guloyeho pasa.

343