Obraz
4 (151)

Przyjmujemy, że funkcje y>k i Wn są funkcjami ortonormalnymi i że czynnik l/j/2 jest czynnikiem normującym nowe funkcje y>_s i y>_A. Funkcja jest funkcją symetryczną, co oznacza, że nie zmienia znaku wtedy, kiedy elektrony zamieniają się miejscami (wymiana wskaźników 1 i 2). Natomiast funkcja y>_A zmienia znak wskutek przestawienia-wskaźników 1 i 2, więc jest funkcją antysymetryczną. Równania (9-12) i (9-13) mają tę własność, że prawdo-dobieństwo znalezienia cząstki 1 w stanie k i cząstki 2 w stanie n jest równe prawdopodobieństwu zaistnienia sytuacji odwrotnej. Ponieważ równanie Schrodingera jest równaniem liniowym, więc liniowa kombinacja rozwiązań (dla tej samej energii E), taka jaka występuje w równaniach (9-12) i (9-13), także musi być rozwiązaniem tego równania. Czy jednak komplikacja związana z zastąpieniem równania (9-7) przez równanie (9-12) lub (9-13) jest niezbędna? Jak się o tym przekonamy, dla cząstek nierozróżnialnych odpowiedź w postaci dowodu doświadczalnego będzie brzmiała tak.

Przede wszystkim wykażemy, że symetria wymiany funkcji falowej podlega zasadzie zachowania. Równanie Schrodingera dla dowolnej liczby nierozróżnialnych cząstek piszemy w postaci

H\P = hUdY/dt),    (9-14)

gdzie H zawiera: operatory energii kinetycznej dla wszystkich cząstek, wyrazy reprezentujące energię potencjalną innych możliwych oddziaływań, np. z jądrem, oraz oddziaływania wzajemne typu V₁₂. Ponieważ cząstki są identyczne, więc ich współrzędne wchodzą do wyrażenia na H w identyczny sposób. Operator Hamiltona iest wiec symetryczny ze względu na wymianę dowolnych dwóch cząstek. Jeżeli w danej chwili funkcja falowa W jest symetryczna ze względu na wymianę dwóch cząstek o określonych wskaźnikach, chociażby numer 5 i numer 9, wówczas lewa strona równania (9-14) jest symetryczna, a zatem dla pary cząstek 5 i 9 pochodna po czasie funkcji W również jest symetryczna. Symetria ta nie może więc ulec zmianie. Podobnie, jeżeli w danej chwili funkcja jest antysymetryczna ze względu na wymianę wskaźników 5 i 9, to zgodnie z równaniem (9-14) jej pochodna po czasie będzie antysymetryczna ze względu na wymianę tych dwóch cząstek. Tym razem również symetria początkowa nie ulegnie zmianie. Oczywiście dowolna kombinacja symetrii, w przypadku dwóch cząstek kombinacja liniowa funkcji i y>_A, również podlega zasadzie zachowania.

Ciągle jeszcze nie udowodniliśmy, że dla cząstek nierozróżnialnych konieczne jest, aby funkcja falowa miała określone właściwości symetrii. Wyżej przeprowadzony dowód na to, że dana symetria lub kombinacja symetrii jest zachowana, nie zabrania korzystania ze stałej, dowolnej kombinacji funkcji y>_s i ip_A, np. typu (y_s-|-y_A)/i/2i i tym samym cofa nas do równania (9-7). Natomiast zasada Pauliego, jak to było wyżej powiedziane, zgadza się z równaniem (9-13), ponieważ wtedy, kiedy ipk i y>ji (włączając do nich funkcje spinowe) są funkcjami identycznymi, antysymetryczna funkcja (9-13) znika.

Przedstawiamy teraz nowy postulat mechaniki kwantowej. W jego pierwszej części zawarta jest zasada Pauliego.

1.    Jednakowe cząstki o połówkowym spinie {fermiony) opisane są funkcją falową, która jest antysymetryczna ze względu na wymianę dowolnych dwóch cząstek.

2.    Jednakowe cząstki o całkowitym spinie {bozony) opisane są funkcją falową, która jest symetryczna ze względu na wymianę dowolnych dwóch cząstek.

Postulat ten nie wymaga, aby całkowita funkcja falowa była zapisana w postaci liniowej