050 4

50 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

Przyjmiemy, że znana jest wartość początkowa x(V₀). Rozwiązanie równania (7.3) ma postać:

(7.4)    _x(r) _{= e}^'-'o)_x(/₍₎)    V%, V/>/₀

gdzie:

(7.5)    e^A' -1 + At +i(A tf +±{Aif+±{Atf + i(A tf + -Prawdziwość wzoru (7.4) można sprawdzić, zauważając, że

(7.6)    — e^A(' '^o)= dt

=^-(l+^A(/-/°)₊^A²(/-/₀)²+^^A3(/-to)³+i_F^A4(/-to)⁴ + -)=

= A+-pA'(r-t₀)+-^A'(r-t₀)' +4jA '{t-t_Q) +■•• =

_{= Ae}^A('^) = _e^Al'-^,o'⁾A

Zasadnicza trudność rozwiązania równania (7.3) polega na obliczeniu macierzy

Przykład 7.2. Rozpatrzymy, rozpatrywany w przykładzie 7.1, problem opisu zmian położenia obiektu dla przypadku zerowego przyspieszenia. Omawiany proces jest opisany następującym równaniem stanu:

(7.7)    i(r)=Ax(/) gdzie:

1 h i_		'y{tj
X2(t{		_~i

(7.8)

(7.9)

A =

0 1 0 0

Przypomnimy, że y{t) oznacza położenie w chwili t, a v(V) - prędkość w chwili t. W rozważanym przypadku macierz tranzycji stanów można wyjątkowo łatwo