044

44 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

Otrzymamy:

X

(6.12)    y(t')= ju(T)g(t-T)dr,    teR

Pochodną funkcji g(t) będziemy oznaczać następująco:

(6.13)    h(t) = g(t),    teR

Stosując to oznaczenie, wzór (6.12) możemy zapisać jak niżej:

cc

(6.14)    y(Ó~ jw(r)A(f-r)</-r,    teR

—OD

Tak więc w rozpatrywanym przypadku odpowiedź y(t) układu można przedstawić jako splot sygnału wymuszenia u(t) oraz funkcji /?(/), co zapisywać będziemy następująco:

OD    X*

(6.15)    y(f) — (u * h){t) ~ Jz/(r)/z(t-r)tfr = J*u(t-r)h(T)dr, teR

—oo    —cc

Otrzymany wzór stanowa wynik naszych poszukiwań. Istota tego wyniku polega na stwierdzeniu, że jeśli układ jest liniowy, stacjonarny i ciągły, to - przy spełnieniu podanych wyżej warunków, bardziej formalnych niż ograniczających zakres zastosowań technicznych - jego odpowiedź y(t) można wyrazić jako splot sygnału wymuszenia u(t) i funkcji h{t). Zależność odwrotna nie zawsze jest prawdziwa. Układy opisane wzorem (6.15) są liniowe i stacjonarne. Spełnienie warunku ciągłości nie jest sprawą oczywistą; istotną rolę odgrywa tu postać funkcji h{l).

Funkcja h(t), z racji swej roli we wzorze (6.14). jest nazywana funkcją wagi. Przedstawimy teraz bezpośrednią interpretację funkcji h(t) jako odpowiedzi układu na szczególną postać wymuszenia u(t). Przyjmiemy, że na układ oddziałuje wymuszenie o postaci impulsu prostokątnego:

(6.16)

u(t) = S_Ł.(t) ~

dla / e [0, zr] dla fgfO,£]

Dla każdej wartości £->0 impuls S_c(t) spełnia warunek:

CC

(6.17)    \d_e(T)dr^\

—00