spomK 01

SYSTEMY POMIAROWE 2 - SPRAWDZIAN 010123

Zadanie 1    4 pkt

Wyznaczyć wariancję estymaty p parametru /), modelu y - p₀ + p_tx, otrzymanej metodą

adiatów na podstawie danych

n	r n	-V„
1 2 3	6 1 4	4 0 4

najmniejszych kwadratów na podstawie danych

2    I    0    u

3 __4__4

wiedząc, ze macierz kowariancji błędów tych danych ma postać:

•10 •'

3 2 0 2 2 1 0 I 2

Rozwiązanie: Zgodnie ze wzorem (6.18) układ równań normalnych ma w tym wypadku postać: 3/>o + H/>, = y_t+y₂ + v₃ 11 A, + 53/>, = 6 y_t + >₂ + 4 j/₃ Błąd jego rozwiązania wyraża się wzorem

L-*

y₂ -y₂ l₃-y3

£,-A ^ssi(⁷2i“⁸Ł⁺Ł)"^(7^,-⁸>'₂+>',) = ^[7 -8 l]⁷

a w konsekwencji:

^v4t>,	K£	I e[(p	.-/ó)^2]
^Varl£,	j= 2.56	•I0"^6

	7		'3 2 0'	7'
8 l]%	-8 1	i oc	2 2 1 0 1 2	-8 1

- Zadanie 2    6pkt

Do wzorcowania pewnego toru pomiarowego, którego modelem jest zależność y- P\X, + p₂x₂, zastosowano metodę najmniejszych kwadratów - zakładając, że plan eksperymentu ma postać:

Wyznaczyć wartość parametru a, dla której suma wariancji estymat parametrów p_{ i p₂ jest największa.

Rozwiązanie:

A = X^rX = U,

^yb.ye(l,2}

A_u =4 +a², A_n =A_2] =2a-l, A₂₂ =4 +a²

det(A)=(4+a²)² -(2a-l)² =16 + 8a² +a^A -a⁴-4a² -4a-l = 15 + 4a + 4a² +a⁴

A11 + ^22

det(A)

bo A^-1

1_

det(A)

A 22 - A_2i