str057 (5)

§ 9. SZEREG LAURENTA I PUNKTY OSOBLIWE 57

§ 9. SZEREG LAURENTA I PUNKTY OSOBLIWE 57

dkuz₀ #oo nazywamy szereg

v postaci a-n

z-z₀r

lamą szeregu Laurenta (9.1), i części głównej szeregu Lau-

środku co nazywamy szereg

(9.6)

Przez zbieżność (zwykłą, jednostajną, bezwzględną) szeregu Laurenta rozumiemy zbieżność analogiczną obydwu jego części jednocześnie. Przez sumę szeregu Laurenta rozumiemy sumę sum obydwu jego części.

Twierdzenie (Abcla). Jeżeli riR oznaczają odpowiednio promień zbieżności części głównej i części regularnej szeregu Laurenta (9.1), to szereg ten jest jednostajnie zbieżny w każdym pierścieniu domkniętym zawartym w pierścieniu

r<\z — z₀\<R.

Twierdzenie (Laurenta). Jeżeli f(z) jest funkcją holomorficzną w pierścieniu (rys. 1.14): (9.5)    r<\z-z₀\<R,

to daje się w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta

00 00 /(z). £ «„(z-*„)■+

n-0    n = 1

v postaci

lamą szeregu Laurenta (9.1'), my częścią główną szeregu dku w punkcie z = oo rolę i potęgach dodatnich tworzą

zeregiem potęgowym wzglę-

ym na zewnątrz tego koła.

iem zmiennej U — -

z~z₀ ’

i zewnątrz koła

Współczynniki a_n tego szeregu wyrażają się wzorami

(9.7)

₌j_ r m

27iiJ(C-z₀)‘

-„Tl d£, n = 0, ±1, ±2,

/

gdzie K jest dowolnym okręgiem o środku z₀ skierowanym dodatnio i zawartym w pierścieniu (9.5).

Definicja 3. Jeżeli funkcja /(z) jest holomorficzna w otoczeniu punktu z₀, czyli dla \z—z₀\<R, to punkt z₀ nazywamy punktem regularnym tej funkcji.

Definicja 4. Jeżeli funkcja /(z) jest holomorficzna w otoczeniu pierścieniowym punktu z₀, czyli dla 0<|z—z₀\<R, to punkt z₀ nazywamy punktem osobliwym odosobnionym tej funkcji.

Wyróżniamy trzy rodzaje punktów osobliwych odosobnionych:

1. Mówimy, że punkt z₀ jest punktem pozornie osobliwym funkcji /(z), jeżeli część główna szeregu Laurenta tej funkcji redukuje się do zera, tzn. wszystkie współczynniki części głównej są równe zeru. Przyjmując w tym przypadku/(z₀) = a₀, otrzymujemy funkcję holomorficzną w całym kole \z—z₀\<R, a punkt z₀ staje się punktem regularnym.