str067 (5)

I $ 9. SZEREG LAURENTA I PUNKTY OSOBLIWE 67

W^y

i i'

dla -2 / n<0, a_₂ = 0,

i — —2.

n< 0.

-1, a„ = 0 dla —1 # n<0,

a_n = 1 dla -1 n<0.

= 0 dla —2 # «<0.

0, a_n = — 1 dla — 1 # «<0.

= 1 + 3"^-1 dla -1#«<0, gun trzykrotny,

:ne,

crotne,

rzy krotny, aokrotne, nokrotne.

d) punkt istotnie osobliwy,

e) biegun dwukrotny,

f) biegun dwukrotny,

g) punkt pozornie osobliwy,

h) punkt pozornie osobliwy,

i) punkt istotnie osobliwy.

§ 10. Residua funkcji i ich zastosowanie do obliczania całek Twierdzenie Rouchego

Definicja 1. Residuum funkcji /(z) w punkcie osobliwym odosobnionym z₀ / oo, które

oznaczać będziemy symbolem res_Z0/(z), nazywamy wartość całki — [f(z)dz, gdzie C

2ni £

oznacza dowolny kontur zawarty w otoczeniu pierścieniowym 0<|z—z₀\<R, w którym funkcja /(z) jest holomorficzna, czyli:

(10.1) res_Z0/(z) = ~ J/(z) dz.

Z definicji tej wynika natychmiast, że residuum funkcji /(z) w punkcie osobliwym odosobnionym z₀ równa się współczynnikowi przy (z—z₀)^_1 w rozwinięciu funkcji /(z) na szereg Laurenta w otoczeniu pierścieniowym punktu z₀ (por. § 9). Mamy więc

(10.1') res_I0/(z) = c_₁.

Ze wzoru (10.1') wynika od razu, że residuum funkcji /(z) w punkcie z₀ # oo, który jest punktem pozornie osobliwym, równa się zeru. Istotnie, wówczas wszystkie współczynniki rozwinięcia części głównej szeregu Laurenta funkcji /(z) są równe zeru. W szczególności

a_i =0.

Jeśli punkt osobliwy odosobniony z₀ jest biegunem funkcji /(z), to residuum funkcji w tym punkcie praktycznie i wygodniej obliczać jest według wzorów

(10.2) res_Z0/(z) = lim (z -z₀)/(z),

Z-+ZO

gdy z₀ jest biegunem jednokrotnym,

1 d^~ *

(10.3) res_I0/(z) = K^z “^zo)V(z)].

gdy z₀ jest biegunem k-krotnym.

Jeżeli funkcja /(z) ma w punkcie z₀ biegun jednokrotny i daje się przedstawić w postaci ilorazu /(z) = P(z)jQ(z), gdzie funkcje P(z) i Q(z) są holomorficzne w otoczeniu punktu z₀, przy czym P(z₀) # 0, to residuum funkcji /(z) w punkcie z₀ dane jest wzorem

P(z o)

(10.2-) .