32728 str059 (5)

I § 9. SZEREG LAURENTA 1 PUNKTY OSOBLIWE 59

I § 9. SZEREG LAURENTA 1 PUNKTY OSOBLIWE 59

część główna szeregu Laurenta

ółczynników różnych od zera. z), jeżeli część główna szeregu różnych od zera. ji /(z) można również przepro-iowiem trzy następujące twier-

iczoną, to punkt z₀ jest punktem

ńegunem funkcji /(z).

tnym funkcji /(z), jeżeli daje <P Oo) # 0.

ranicy {skończonej ani nieskoń-'Jiwym funkcji /(z).

unkcji/(z), to dla funkcji 1 //(z) ir-krotnym funkcji (z), to dla

w otoczeniu pierścieniowym tawiamy z = 1/f i rozwijamy lierścieniowym punktu £ = 0 otrzymując żądane rozwinię-szereg Laurenta funkcji /(z)

Przyjmując lim/(z) = a₀ = /(oo), otrzymujemy funkcję holomorficzną w nieskończo-*-►00

ności. Jeżeli w szczególności lim /(z) = a₀ = 0, to rozwinięcie (9.9) przyjmuje postać

(9.10)

i punkt oo nazywamy zerem jednokrotnym naszej funkcji. Gdy funkcja /(z) ma w oo biegun ic-krotny, to jej rozwinięcie w otoczeniu pierścieniowym tego punktu ma postać

(9.11)

/(z)

= 'y ^—^+a_lz + a₂z⁷' + ...+a'_kz^k, a_k¥= 0.

n= 0

Część główna rozwinięcia (9.8) jest wtedy wielomianem stopnia k. Gdy wreszcie funkcja /(z) ma w oo punkt istotnie osobliwy, to jej rozwinięcie w szereg Laurenta ma postać (9.8),

00

przy czym część główna Z a_nzⁿ ma nieskończenie wiele wyrazów różnych od zera.

Zadania przykładowe

Zadanie 9.1. Znaleźć obszar zbieżności i sumę szeregu Laurenta

Z a„zⁿ,

7J = — 00

gdzie

_ (2 " dla n^O, ^a)an-(l dla n<0,

b) a_n =

dla n> 0 ,

2"

2" dla n <0.

rem (9.3) mamy

O)

eią główną rozwinięcia (9.8)

f ma skończoną ilość wyrazów óżnych od zera, punkt z = oo :gunem lub punktem istotnie ikt pozornie osobliwy daje się wić jednym szeregiem postaci

— n

Rozwiązanie, a) Część regularna ma postać Z 2 "z". Wobec tego zgodnie ze wzo-

n = 0

q = lim ⁿs[\T¹'\ =i, R = 2.

Część główna jest szeregiem postaci Z ^z~"- Wobec tego zgodnie ze wzorem (9.4) mamy

n= 1

(2)    r = lim Vl = 1 •

H —* CO

Z uwagi na wzory (1) i (2) obszar zbieżności naszego szeregu jest pierścieniem kołowym

(3)    l<|z| <2.

Aby znaleźć sumę /(z) danego szeregu przyjmijmy

/i(z) = Z ²""^{2B oraz} AC²) = Z ²

n=0    n~1