str094 (5)

94 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Uwaga 1. Mówimy, że funkcja u(x,y) jest harmoniczna w punkcie oo, jeżeli jest harmoniczna w pewnym otoczeniu pierścieniowym |z| <cc tego punktu i dąży do granicy skończonej, gdy z = x+iy-+oo.

Uwaga 2. Funkcja harmoniczna w otoczeniu pierścieniowym punktu z₀ i ograniczona w dowolnie małym otoczeniu pierścieniowym 0<|z—z₀|<<5, jest harmoniczna również w punkcie z₀. Wobec tego funkcje określone wzorami (11.13) i (11.13') są funkcjami harmonicznymi w całym obszarze D.

Uwaga 3. Warunek 2° definicji funkcji Greena można wysłowić następująco: Funkcja G(z) jest ciągła w obszarze domkniętym D + C z wyjątkiem punktu z₀ oraz ma wartość równą 0 na brzegu C.

Między funkcją Greena dla obszaru jednospójnego D i funkcją odwzorowującą ten obszar konforemnie na koło |w|<l zachodzi ścisły związek. Mówią o tym następujące twierdzenia:

Widać od razu, że musi być i dziłaby w oś rzeczywistą, a i również a ^ 0, bo w przeciwi przeszedłby w punkt w = 0, brzegowe muszą przejść na

Wobec tego przekształcenie

(2)

Twierdzenie 10. Jeżeli funkcja w = g(z) odwzorowuje konforemnie obszar jednospójny D na koło |wj < 1 w ten sposób, że punkt z₀e D przechodzi w środek tego kola, to funkcja G(z, z₀) określona wzorem

(11.14)

G (z, z₀) = log

1

\g(ż)\

jest funkcją Greena dla obszaru D z biegunem w punkcie z₀.

Twierdzenie 11. Jeżeli G(z) = G(z,z₀) jest funkcją Greena dla obszaru jednospójnego D z biegunem w punkcie z₀ e D, to funkcja g (z) odwzorowująca konforemnie obszar D na kolo | vtj <1 w ten sposób, że z₀e D przechodzi w środek tego kola, określona jest wzorem

(11.15)    w = g (z) = (z — z₀)e~^h(z),

gdzie

h (z) = u + iv

jest funkcją holomorficzną w D oraz gdzie

u (x, y) — G (z) - log--

|z-z₀l

jest funkcją harmoniczną w całym obszarze D, a v(x, y) jest funkcją harmoniczną sprzężoną z funkcją u{x,y).

Zadania przykładowe

Zadanie 11.1. Znaleźć najogólniejsze przekształcenie homograficzne, odwzorowujące górną półpłaszczyznę Im z 5=0 na koło |w|<l.

Rozwiązanie. Szukane odwzorowanie ma postać

az + b

(1)

W =

cz + d’

Punktom z_x = —bja i z₂ = w myśl 2, odpowiednio puń są symetryczne względem ok być symetryczne względem o

(3)

to

(4)

Uwzględniając związki (3) i

(5)

Pozostaje jeszcze wyznaczyć leżącemu na osi rzeczywistej Przyjmując we wzorze (5) z

(6)

*

Ponieważ punkt w określon

1, więc

(7)