66879 str088 (5)

88 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Definicja 3. Mówimy, że odwzorowanie:

w = /(z)

obszaru D na obszar D_x jest odwzorowaniem konforemnym, jeżeli spełnione są dwa warunki:

1° funkcja /(z) jest jednolistna w obszarze D,

2° D_t = /(/>).

Odwzorowanie konforemne jest więc (por. § 5) w każdym punkcie równokątne z zachowaniem zwrotu, bo funkcja jednolistna w obszarze D, ma w każdym punkcie regularnym tego obszaru pochodną różną od zera.

Zauważmy, że gdy funkcja /(z) odwzorowuje konforemnie obszar Z) na Z),, a funkcja g (u) odwzorow uje konforemnie obszar Z>_t na obszar Z>₂, to funkcja złożona g [/(z)] odwzorowuje konforemnie obszar D na obszar Z>₂. Jeżeli dana jest funkcja jednolistna /(z), to wyznaczenie obszaru Z),, na który przekształca ona dany obszar D, daje się efektywnie wykonać. Znacznie trudniejsze jest następujące zagadnienie: kiedy dwa obszary D i Z), są przekształcalne konforemnie jeden w drugi. Dla obszarów jednospójnych odpowiedź na powyższe pytanie daje twierdzenie wypowiedziane w roku 1851 przez Riemanna.

Niech funkcja (11.1) odwzorowuje konforemnie obszar D na obszar D_l tak, że punkt z₀e D przechodzi w punkt it’₀ e D_{.

Definicja 4. Mówimy, że przy odwzorowaniu (11.1) element liniowy (z₀, 0) przechodzi w element liniowy (w₀,cp), jeżeli każdy łuk regularny, wychodzący z punktu z₀ pod kątem 0 do osi rzeczywistej, przechodzi w łuk regularny, wychodzący z punktu iv₀ pod kątem <p.

Twierdzenie 1 (Riemanna). Każdy obszar jednospójny D, którego brzeg B zawiera więcej niż jeden punkt, daje się przekształcić konforemnie tv kolo \ W\ < 1 tak, aby dowolnie obrany element liniowy (z₀, 0) obszaru D przeszedł w element liniowy (0,<p) kola | H⁷! < 1.

Uwaga. Osgood i Caratheodory wykazali, że gdy obszar D jest wnętrzem krzywej Jordana C, to odwzorowanie daje się przedłużyć z zachowaniem ciągłości na brzegi obszarów D i |uj<l.

Definicja. 5. Odwzorowaniem homograficznym nazywałby przekształcenie określone wzorem

(11.2)

w =

az + b cz+d’

Szczególnym przypadkiem

(11.3)

oraz przekształcenie postaci

(11.4)

zwane inwersją względem kol stosujemy często, gdy chodzi c szedł na punkt 0 i odwrotni

Twierdzenie 5. Każda fu być napisana w postaci

Innymi słowy, każda hor

t

1° przesunięcia t = z + -1

2° inwersji T = —,

3° przekształcenia liniowi

Symetria względem okręg

względem danej prostej, gdy { punkty p i ą nazywamy syr

(11.5)

jeżeli 1° leżą na tej samej pi

2° iloczyn ich odległości ot

gdzie

a

c

Twierdzenie 2. Każda homografia (11.2) przekształca konforemnie całą płaszczyznę domkniętą w siebie.

Twierdzenie 3. Przekształcenie odwrotne względem przekształcenia (11.2) jest również odwzorowaniem homograficznym.

Twierdzenie 4. Złożenie dwóch przekształceń homograficznych jest również przekształceniem homograficznym.

Uwaga. Środek z₀ okręg nymi względem okręgu (11.

W szczególności punkt) \z\ — r, a punkty z oraz 1/ź

Twierdzenie 6. Każda ł w okrąg, a punkty symetry obrazu.

Twierdzenie 7. Istnieje trzy dowolne, różne punkty