Image0118 BMP

f.2. Metoda Rilu

Poszukujemy ekstremum funkcjonału przy założeniu, że funkcja u(x, y) ma postać nhinacji liniowej

HU,y) = u₀(-x,y)+ £ «*«*(*, y),    (11.102)

ic: a_k, k= 1,2, n są stałymi. Przyjmujemy, że «₀(jt,y) spełnia warunki brzegowe ie same jak funkcja w(x, y), natomiast pozostałe wyrazy w,(x,y), «₂(x,y),    w„(.v, y)

tniąją zerowe warunki brzegowe.

Po podstawieniu zależności (11,102) do wzoru (11.94), funkcjonał można przedstawić mstaci

l(u) = 0{a_],a_2>    (11J03)

lółczynniki o₁, «₂, ..., a„ wyznaczamy, rozwiązując układ równań

?=0. k= l, 2, ..., /I    (11.104)

;ytnany na podstawie warunku koniecznego istnieniu ekstremum funkcji <t> n zmiennych a_ir    Jest to tzw. minimalizacja funkcjonału.

Sposób postępowania przy stosowaniu metody Ritza będzie przedstawiony na pod-'ie dwóch przykładów.

Przykład 1, Rozpatrzymy cienka płytkę kulowa w poprzecznym polu magnetycznym, omawianą 9.7.2, Obliczenie gęstości prądów wirowych w tej płytce sprowadza się do wyznaczenia i-ozwią-i równania różniczkowego (por. wzór 9.77)

<i²ii    id it

ą-    ygi),,.    (11.105)

dr r dr

injącego warunek brzegowy n(r_lij = o w (makiach krawędzi płytki. Oznaczenia wielkości wystę-ych w tym równania omówione są w p, 9.7.2,

Przybliżone rozwiązanie równania (11.105) przyjmujemy, pozostawiając w zależności (11.102) pierwszy wyraz, czyli

"(r)ra«„<r) = «(,fro-r),    (11,106)

eja ta spełnia zerowy warunek brzegowy w punktach krawędzi płytki. Współczynnik a„ obliczamy, na li/ująć funkcjonał

/(»)= J (j") +j2ru;'r/«₀r«(r)j dr,    (11.107)

miny na podstawie wzoru l II. 100). PodsLawiająe dnjdr= — a₀, znajdujemy po wykonaniu pro-rachunków

i (i/) = ‘ r.j fin    rjj u_a,

: czego

d/

du₀

fu «₀ -I- jjdjy.yflu ryj = 0,

o o - — \jriy(/R₀ r o .

«=» - i](oyffff_ar),(r₀-r).    (11.108)

Gęstość prądu w płytce ma tylko składową

, ^{1 Su} 1 ■ „

J_t=~    — jwyBofo

9 t)r 5

(por. p. 9.7.2). Gęstość mocy prądów wirowych jest równa

v ' y 9

wobec czego straty wiroprądowe są równe

'■o

p= I - |[J|[¹dr = --| g2nrdr=f)²ygB„ zj.

J y    9    J    9

V    o

Straty wiroprądowe obliczone na podstawie tego wzoru są mniejsze o ok. 11% w porównaniu z wynikami otrzymanymi na podstawie wyrażenia (9.81). Wzory te są ważne dla bardzo cienkich płytek o małym promieniu (ok. I cm). Dokładniejsze rozwiązanie można otrzymać, przedstawiając przybliżone rozwiązanie w postaci sumy zawierającej więcej składników . Należy jednak zwrócić uwagę, iż powiększanie liczby składników rozwiązania powoduje wzrost pracochłonności obliczeń.

Przykład 2. Obliczymy gęstość prądu w cienkiej płytce metalowej o postaci prostokąta (rys. 11.1) umieszczonej w harmonicznym polu magnetycznym równomiernym prostopadle do linii pola. Niech B_a oznacza indukcję magnetyczną, zaś y i ; — grubość i konduklywność płytki.

Zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia rozwiązania równania Poissuna (1 ].46) przy fl₀(v, y) = — B_n, spełniającego warunki brzegowe (11.47). Przybliżone rozwiązanie tego równania przyjmujemy w postaci

«(.v, y) = do(o* — x~ Hó — r'),    (11.109)

zatrzymując we wzorze (U. 102) tylko pierwszy wyraz. Funkcja (11.109) spełnia zerowy warunek brzegowy w punktach krawędzi płytki. Współczynnik a„ wyznaczamy, minimalizując funkcjonał

a b

/< /()== J | b j" _if j +j 2<.'j/,r//ł_u «(.v, r)J d.rdy (11.110

otrzymany na podstawie wyrażenia (11.98), Podstawiając

<'u    .    , r?H    ,    ,

• ■• = — 2o₀.v(/>* - v ), i; =— 2o₀<« — r )y o.v    t¹ v

do zależności (11.110), otrzymujemy po wykonaniu elementarnych rachunków

128

32

/(«)=    - a b³(a + b )a,"j -fj i<>i'gB_a u' />' a<> .

45    9

wobec czego

d/ 256 , , .    ,    .32    _{t 3} „

-—= — a³b³ia +// )«o+j „ toygB_aa^-b =0, dfl₀ 45    9

a stąd

9o)ygBa

^ ~^J ŹUS + h¹)