50106 str040 (5)

40 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

40 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Obliczamy teraz (6)

du    ;dv    du    dv

di = ^2x’ W ⁼ *’ ^ ^{= 0,} <to^=y'

Z równań (6) wynika, że równania Cauchy-Riemanna (5.2) spełnione są tylko dla x = 0 oraz y = 0. Wobec tego funkcja (5) jest różniczkowalna tylko w jednym punkcie z = 0. W konsekwencji nigdzie nie jest holomorficzna.

Zadanie 5.2. Znaleźć funkcję holomorficzną/(z) = u+iv wiedząc, że

a) u{x,y) = x²-y²+xy, /(O) = 0, b) v(x,y) = lx²-2y²+x.

Rozwiązanie, a) Z założenia mamy

(1)    u = x²—y²+xy.

Różniczkując cząstkowo równanie (1) względem x oraz y, mamy odpowiednio

du \

Fr^2x+f-

(2)

(3)

du

- = -2 y+x. dy

Ponieważ funkcja /(z) = u+iu ma być holomorficzna, to

du dv

(4)

du dv dx dy'    dy dx

Uwzględniając wzory (2) i (3) w j-ównaniach (4), otrzymujemy dwa równania na szukaną część urojoną v(x,y) funkcji /(.)

(5)

dv    dv

— = 2 x+y    oraz    — = 2 y-x.

dy    dx

Z równań (5) wiadomym sposobem (por. całkowanie różniczki zupełnej) wyznaczamy funkcję v(x,y), ma ona postać

y² x²

v(x,y) = 2xy+--—+C.

(6)

Wobec tego szukana funkcja holomorficzna ma postać

/(z) = x²-y²+xy + i (2 xy+y - y ^j+Ci,

.2 _v2\

(6')

/(z) = (x—y+ 2xyi) + xy-i

2 2 x —y

4- Ci,

f(z) = (x + iyf+xy-i

Xx + iy)² — 2xyi

+ Ci,

(7)

/(z) = z² — i — + Ci.