1.PRAWO HOOKE'A. W wyniku obserwacji rozciąganych prętów pryzmatycznych wykonanych z różnych materiałów Hooke stwierdził, że wydłużenie ∆l pręta pryzmatycznego jest wprost proporcjonalne do siły rozciągania P i do długości początkowej l pręta, a odwrotnie proporcjonalne do pola F przekroju poprzecznego pręta (2.1). ∆l = Pl / EF.
E-moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł Younga) a) wydłużenie, jakie doznaje jednostka długości pręta. Oznaczamy je ε i nazywamy wydłużeniem względnym: ε = ∆ l / l. Naprężenie rozciągające w pręcie wynosi σ = P / F, zatem prawo Hooka wyrażone wzorem ∆l = Pl / EF można przedstawić w postaci: σ = ε E np. dla stali wynosi E = 2,1 * 10 5 Mpa.
2.WYKRES ROZCIĄGANIA STALI NISKOWĘGLOWYCH. W początkowym okresie rozciągania, wydłużenia względne ε są proporcjonalne do naprężeń σ i na wykresie rozciągania otrzymujemy prostą 0A. Umowna granica sprężystości σ spreż. (odpowiadająca pkt. B na wykresie) jest max. Naprężenie, które powoduje, że po usunięciu siły rozciągającej pozostałe wydłużenie względne, będzie wynosiło 0,001 %.Pkt. A określany granicą proporcjonalności σ prop. (granica stosowalności prawa Hooke'a) leży w pobliżu pkt.B: σ sprez. = σ prop. Jeżeli naprężenie rozciągające próbkę przekroczy granice spręży., to wydłużenia względne ε nie będą już wzrastać liniowo (odcinek BC). Stale nisko węglowe mają własność, że po osiągnięciu pkt.C następuje przyrost odkształceń plastycznych (linia pozioma CD), a odpowiadające temu naprężenia zwane są granicą plastyczności σ plasty. (Re). Po osiągnięciu pkt.D wzrost odkształceń ε związany jest z przyrostem naprężeń σ i trwa, gdy naprężenie osiągnie max wartość (pkt.K). Te największe naprężenie to wytrzymałość na rozciąganie Rm. R m = P max. / F. Po osiągnięciu Rm w pewnym miejscu rozciągania próbki powstaje lokalne zwężenie, tworzy się, tzw. szyjka i w tym miejscu próbka ulega rozerwaniu (odcinek KL). Jeżeli naprężenia w próbce obliczać będziemy jako iloraz siły rozciągającej P przez rzeczywiste pole przekroju poprzecznego próbki, to otrzymamy wykres rozciągania (linia przerywana) DK'L', a odcinek K'L' dotyczy naprężeń rzeczywistych, jakie występują w największym przekroju szyjki.
3.CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA DOBÓR WSPÓŁCZYNNIKA BEZPIECZEŃSTWA. 1. Sposób przykładania obciążeń. Obciążenia dynamiczne (nagłe) pochodzące od ciał będących w ruchu, są bardziej niebezpieczne niż obciążenia statyczne, tj. przykładane powoli oraz obciążenia stale zmieniające się są bardzo niebezpieczne od obciążeń stałych. 2.Jednorodność materiałów. Wyroby walcowe są bardziej jednorodne niż np. odlewy, w których mogą być pory. Dla wyrobów walcowych można przyjąć mniejszy współczynnik bezpieczeństwa niż dla odlewów. 3.Naprezenia wstępne. Występują przy nierównomiernym stygnięciu elementów spawanych oraz przy połączeniach wciskowych w elementach hartowanych. 4.Niedokładność metod obliczeniowych. Dla ułatwienia obliczeń pomija się niekiedy niektóre naprężenia. Jeśli poprzestaje się na obliczeniach przybliżonych należy przyjąć większy współczynnik bezpieczeństwa. 5.Czas i warunki pracy konstrukcji. W konstrukcjach tymczasowych, montażowych można przyjąć mniejszy współczynnik bezpieczeństwa. W urządzeniach przeznaczonych do długotrwałej eksploatacji należy uwzględnić osłabienia elementów spowodowane ścieraniem powierzchni i korozją. Jeżeli pracuje w podwyższonej temperaturze uwzględniamy zmiany własności matematycznych. W tych temp.. σ = P / F ≤ kr. naprężenie dopuszczalne kr wyznacza się: kr = Rm / nm.
nm-współ.bezpiecze, w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie Rm. (kc-naprężenie dopuszczalne na ściskanie), (kg-zginanie), (ks-skręcanie), (kt-ścinanie).
4.NAPRĘŻENIA TERMICZNE- wynikają ze zmiany temperatury danego elementu w sytuacji braku możliwości jego swobodnego odkształcenia. Δl a = ℓ (alfa)*l *Δt,
Δl m= P*l / E*F , ℓ-współczynnik ciepłej rozszerzalności liniowej. Δl a = Δl m,
ℓ (alfa)*l *Δt= P*l / E*F / l, P / E*F = ℓ (alfa) *Δt / E, P/F=б, б=ℓ (alfa) *Δt*E.
Dla stali ℓ (alfa)=1,1 10 -5, dla miedzi ℓ (alfa)=1,710 -5, dla brązu ℓ (alfa)=1,6*10 -5.
5.LICZBA POISSONA. Jest to współczynnik proporcjonalności v zwany liczbą Poissona. (rys.3.11) wzdłuż osi 2: ε2 = -v ε1 , wzdłuż osi 3: ε3 = -v ε1 , wymiary kostki sześciennej o boku 1 cm poddanej działaniu naprężenia rozciągającego σ1 wynoszą: wzdłuż kierunku 1: 1+ ε = σ1 / E, wzdłuż kierunku 2: 1+ ε2= 1- v ε1 = 1 - v σ1 / E , wzdłuż kierunku 3: 1 + ε3 = 1 - v ε1 = 1 - v σ1 / E. Objętość kostki powinna spełniać warunek: (1+ ε1) (1+ ε2) (1 + ε3 ) ≥ 13 a po podst. ( 1 + ε1) (1 - v ε 1)2 ≥ 1, * 1 - 2 v ε 1 + v ε 1 2 + ε 1 -2 v ε 1 2 + v ε 1 3 - 1 ≥ 0. - 2 v ε 1 + ε 1 ≥ 0, v ≤ ½ .
6.MIARA DEFORMACJI PRZY CZYSTYM ŚCINANIU, ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY E I G. Czyste ścinanie - naprężenia tnące wywołane są przez działanie naprężeń normalnych i można wytworzyć taki stan obciążenia, aby na ścianach rozpatrywanego elementu nie występowały żadne inne naprężenia oprócz naprężeń tnących. Taki stan obciążenia to CZYSTE ŚCINANIE. Stan czystego ścinania uzyskać można w płaskim stanie napięcia działając naprężeniami rozciągającymi σ1 = σ i ściskającymi σ2 = -σ w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. (rys.4.3) w kierunku 1 (wzdłuż przekątnej db) ε1 = σ1 / E - v σ2 / E = σ / E - v (-σ / E ) = σ / E (1+v). W kierunku 2 ε2 = σ2 / E - v σ1 / E = (-σ / E ) - v σ/ E = - σ/ E (1 +v) , ε = у /2 , у = ז / G = σ / G , po podst. ε = у /2 = σ / 2G , ε = σ /E (1 + v) = σ / 2G. Stad otrzymujemy szukaną zależność miedzy modułami sprężystości e i G , G = E / 2(1+v). Stan czystego ścinania trudno jest wytworzyć przez bezpośrednie obciążenie ciała samymi tylko naprężeniami tnącymi, natomiast taki efekt można uzyskać wywołując np. rozciąganie i ściskanie takimi samymi, co do wartości bezwzględnej naprężeniami σ, działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.
7.WZÓR NA NAPRĘŻENIE PRZY SKRĘCANIU. dM = TP dF p ,
Ms = ∫F dM = ∫F TP dFp , TP / P = T MAX /r , MS= ∫F pTMAX / r * dFp ,
MS = T MAX / r ∫F p2dF, JO = ∫F p2dF , TMAX = r * Ms / JO , (wykorzystując zależność TP / TMAX = p/r ) zapisujemy T MAX / r = MS / JO = Tp / p , (a po podstawieniu do wzoru dφ / dx = TP / pG ) dφ / dx = MS / GJ0 , φ = ∫L d φ = ∫0 1Ms / GJ0 dx = Ms l / GJ0 ,
φ = Ms l / GJ0 .
9.PRACA I MOC MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO. Praca siły P stycznej do wału na drodze ds. (5.8) wynosi dL = P ds., przy czym ds. = rd φ wiec dL = Pr d φ. Ponieważ Pr =MS to dL =MS dφ , L=MSφ , Praca momentu skręcającego jest więc równa iloczynowi momentu skręcającego i kąta obrotu wału. Moc N przenoszoną przez wał otrzymujemy N = dL / dt = Ms dφ / dt = Msω. Jeżeli moc przenoszona wynosi N kilowatów, a prędkość kątowa wału ω rad / s, to moment skręcający: Ms N * m = N kW * 1000 / ω rad / s , gdy podana jest liczba obrotów wału na minutę (n obr/min) wówczas ω = Лn / 30 i moment skręcający wyraża się zależnością: Ms N *m = 30 * 1000 / Л * N / n = 9550 N / n.
10.WZÓR NA KĄT SKRĘCANIA WAŁU,DOPUSZCZALNY KĄT SKRĘCANIA.
Ms= G* dy / dx ∫F g2 dF , Ms= G* dy / dx Jo , dy = Ms / G Jo dx , kat y=Ms / G*Jo ∫dx , y=Ms*l / G*Jo , y dop≤1/4 ° / mb , ds.= r*dy , dL=P*ds.=P* r * d * α , dL= Ms* d * α , N=dL /dt = Ms * d α / dt= Ms* w , w=2 Л r , w=Л r / 30 , Ms=N / w = N /2 Л r= 1 / 2 Л r * N / n , Ms= N / n * 1 / 2 Л r.
11.DEFINICJA SIŁY TNĄCEJ I MOMENTU GNĄCEGO W PRZEKROJU POPRZECZNYM BELKI ZGINANEJ. A)siłą tnąca T w danym przekroju poprzecznym belki zginanej nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. Siłę tnącą T uważać będziemy, za + jeżeli wycięty w myśli element belki siła ta będzie się starała obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara. B)moment gnący Mg w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. Moment gnący Mg uważać będziemy, za + jeżeli wycięty w myśli element belki stara się wygiąć wypukłością do dołu.
12. WZÓR NA NAPRĘŻENIE PRZY CZYSTYM ZGINANIU σY = - y / p * E , dP = σY dF , dP = - y / p *EdF , ∫F dP = - ∫ y / p * EdF = - E / p ∫F ydF = 0 , ∫F ydF = 0 ,
Mg = ∫F dPy = - ∫F y / p * E dFy = - E /p ∫F y2 dF , Jz = ∫F y2 dF , 1 / p = - Mg / EJz (po podst. σY = - y / p * E) σY = Mg y / Jz ,
σG = σMAX = І σMINІ = Mg * Ymax / Jz , Wz = Iz / y max , σG = Mg / W ≤ kG gdzie kg jest naprężeniem dopuszczalnym na zginanie a W- wskaźnikiem wytrzymałości na zginanie względem osi obojętnej.
14.WZÓR NA MOMENT BEZWŁADNOŚCI PROSTOKĄTA WZGLĘDEM PODSTAWY (POWIERZCHNIA).a) w przypadku prostokąta o szer. B i wysokości h (7.2a) jako elementarne pole dF, a wiec dF= b d y, a iloczyn dF i y2 zsumować na całym polu tj. y=0 do y=h: Jz = ∫F y2 dF = ∫0 H y2 bdy = b l1/3 y3I H0 =1/3 bh3.
15. WZÓR NA MOMENT BEZWŁADNOŚCI TRÓJKĄTA. Dla trójkąta o podstawie b i wysokości h (7.2b) elementarne pole dF = zdy; aby wyrazić pole dF w postaci funkcji jednej zmiennej to z= b(h-y)/h zatem
Jz = ∫F y2 dF = ∫0H y2b* h-y / h dy = b / h Ih 1/3 y3 - ¼ y4 IH0 = bh3 / 12.
16. WZÓR NA MOMENT BEZWŁADNOŚCI KOŁA Dla koła o promieniu r (7.2 c) szerokość z elementarnego paska wynosi z=2√r2 - y2, zatem Jz = ∫F y2 dF = ∫F y2z dy = 2∫R0 y2 * 2√r2 - y2 dy = ¼ Л r4.
17.TWIERDZENIE STEINERA. Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy, oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości miedzy tymi dwiema osiami. Z równania: I z1 = Iz + md 2 wynika, że przy wyznaczaniu momentów bezwładności ciała materialnego względem osi do siebie równoległych najmniejszy moment bezwładności otrzymujemy względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, ponieważ gdy d≠0, wówczas zawsze md2 >0. Każda oś przechodząca przez środek masy ciała nazywa się osią centralną wszystkich równoległych do siebie osi, oś centralna jest tą, względem której moment bezwładności ciała jest najmniejszy. Zastosowanie twierdzenia: (rys.7.22) moment bezwładności dla cienkiego jednorodnego pręta względem osi O1, prostopadłej do osi pręta i przechodzącej przez jego koniec: Iz1 = Iz+md 2 = iż + m l2 / 4. Moment bezwładności pręta względem osi centralnej Cz, równoległej do osi O1 z1, wynosi: Iż = ml2 / 12. a po podstawieniu: Iz1 = ml2/12 + ml2/4 = ml2/3.
18.DWUKIERUNKOWY STAN NAPRĘŻEN, NAPRĘŻENIA ZREDUKOWANE.
a)naprężenia zredukowane -są to takie naprężenia (umowne)otrzymane po zastosowaniu przyjętej hipotezy wytrzymałościowej dla danego trójkierunkowego stanu naprężeń, które jest równoważne z naprężeniem zwykłym rozciąganiu. Obliczenia wytrzymałościowe dla dowolnego przestrzennego stanu naprężeń sprowadza się do sprawdzenia warunku: σ red. ≤ Kr.
Warunek ten w myśl kolejnych hipotez przybiera następującą postać
(dla σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ) 1) według hipotezy σMAX -dla rozciągania σ red = σ1 ≤ Kr, -dla ściskania σ red = I σ3I ≤ I K c I, 2)według hipotezy ε MAX (wzor σPL = σ1 - v (σ2 - σ3) )
σRED = σ1 - v (σ2 - σ3) ≤ Kr , 3)według hipotezy T max (wzor σPL = Iσ1 -σ3I )
σRED = σ1 -σ3 ≤ Kr , 4) według hipotezy Huberta
(wzór σPL = √ ½ [ (σ1 -σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 - σ1)2] ) to
σRED = √ ½ [ (σ1 -σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 - σ1)2] ≤ Kr.
19.NAPRĘŻENIA W ŚCIANCE CYLINDRYCZNEGO CIENKOŚCIENNEGO ZBIORNIKA CIŚNIENIOWEGO. Ciśnienie P napiera na wszystkie ścianki i stara się go powiększyć Б1 -naprężenia obwodu (średnica), Б2 -wydłużenie długości. Przecinamy zbiornik płaszczyzną a-a. Siła tarcia ciśnienia P musi być różna co do wartości Б2. p*πD2 / 4 = Б2*D*g , Б2=p*D / 4g , p*D*1=Б1*2g*1 ,
Б1 = pD / 2g , Siła parcia=p*D*1, d1*2g*1=siła wypadkowa naprężen. p*D*1=Б1*2g*1, Б1= pD / 2g , Бred = √ Б12 + Б22 - Б1 Б2 ,
Бred = √ (pD / 2g)2 + (pD / 2g)2 - pD / 2g * pD / 4g = √( pD / g)2* (1/4+1/16-1/8) = pD / g * √3 / 4= pD / 2,3*g , D=Dz + g , D= Dz-g , Бred =Pd / 2,3g ≤kr , p*(Dz+g) / 2,3 g ≤kr , p*Dz +p*g ≤2,3 kr , pDz ≤2,3 gkr-pg , pDz ≤g (2,3 kr-p) , g≥pDz / 2,3 kr - p , g≥pDz / 2,3 kr + p , RYS...
20.NAPRĘŻENIA PRZY JEDNOCZESNYM ZGINANIU I SKRĘCANIU, MOMENT ZASTĘPCZY. Jeżeli w danym przekroju pręt zginany jest momentem Mg i skręcany momentem Ms (10.1 a) to przy zginaniu powstałe naprężenia normalne określone są wzorem σ Y = Mg * y / Jz i zmieniające się od 0 w warstwie obojętnej do wartości maksymalnej σ G = Mg / W we włóknach skrajnych A i B. Z kolei od momentu skręcającego Ms powstają naprężenia styczne zmieniające się od 0 w osi pręta do wart. Max T = Ms / W0 w pktach położonych najdalej od osi pręta. Przy równoczesnym działaniu momentów Mg i Ms najbardziej niebezpieczny stan napięcia powstaje więc w pktach A i B pręta położonych najdalej zarówno od osi obojętnej jak i od osi pręta. Dla materiałów plastycznych o jednakowych własnościach wytrzymałościowych na rozciąganie i ściskanie (stale, staliwa, aluminium) naprężenia zredukowane oblicza się:1) wdł. Hipotezy T max : σRED = σ1 -σ3 = 2√ (σ / 2)2 + T2 = √ σ2 + 4T2 ≤ Kr , σRED =√ σ2 + 4T2 ≤ Kr, 2)według hipotezy Huberta
σRED = √ ½ [ (σ1 -σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 - σ1)2] ≤ Kr , σRED = √ σ2 + 3T2 ≤ Kr. Dla przekroju kołowego wskaźnik wytrzymałości na zginanie wynosi W = ¼ Л r2 na skręcanie zaś W0 = ½ Л r3, a wiec W0 = 2W i można to wyrazić wzorami: σ = Mg / W, T = Ms / W0 = Ms / 2W. Po podstawieniu naprężenia redukcyjne 1)Według hipotezy T max σRED =√ (Mg / W)2 + 4 (Ms / 2W)2 = √Mg2 + Ms2 / W ≤ Kr ,
2) według hipotezy Huberta
σRED =√ (Mg / W)2 + 3 (Ms / 2W)2 = √Mg2 + 0,75Ms2 / W ≤ Kr ,
MOMENT ZASTĘPCZY- w celu uproszczenia zapisu momentów Mg i Ms występująca w licznikach otrzymanych wzorów nazywa się momentem zastępczym Mz . Moment zastępczy Mz ma wart: 1)wdł. Hipotezy T max: Mz = √Mg2 + Ms2 , 2)według hip. Huberta Mz = √ Mg2 + 0,75 Ms2. Ogólnie sprowadza się to do zastosowania wzoru: σRED = Mz / W ≤ Kg.
21.WYBOCZENIE PRĘTOW (NAPRĘŻENIA KRYTYCZNE, SMUKŁOŚĆ GRANICZNA) a)wyboczenie- przejście układu ze stanu równowagi stałej (w danym przypadku prostoliniowa postać pręta) do stanu równowagi chwiejnej lub obojętnej (krzywoliniowa postać równowagi pręta) to utrata stateczności układu czyli wyboczenie a siłę przy której zachodzi to przejście nazywamy siła krytyczną
(P kr = Л r2 EJ min / l2w) lub siłą wyboczającą i oznaczamy Pkr. B)Naprężenie krytyczne, smukłość pręta.- Naprężenie krytyczne, przy którym następuje utrata stateczności pręta ściskanego, otrzymamy przez podzielenie wzoru
P kr = Л r2 EJ min / l2w przez pole F przekroju poprzecznego pręta σKR = P kr / F = Л r2 EJ min / l2w F. W celu ujęcia w krótszej formie wielkości charakteryzujących przekrój poprzeczny pręta, wprowadzono pojecie min. Promienia bezwładności przekroju: i2min = Jmin / F , a po podzieleniu lw przez iMIN otrzymujemy: s = lw / i MIN ,zwane smukłością pręta . Po podstawieniu naprężenie krytyczne określone zależnością σKR = P kr / F = Л r2 EJ min / l2w F wyraża się wzorem: σKR = Л r2 E / s2.
22. SCHEMAT KRATOWNICY (ZASADNICZE ELEMENTY)
Układ złożony z prętów, których końce są ze sobą połączone przegubowo, mający niezmienna geometryczna postać nazywamy kratownicą.
Kratownice znajdują szerokie zastosowanie w wielu konstrukcjach ze względu na swą lekkość
i prostotę wykonania. Używa się ich np. budowie mostów, rożnego rodzaju słupów, belek itp.
Przykłady kratownic:
23. SCHEMAT WEZLA KRATOWNICYI PRZYJMOWANE ZALOZENIA:
Najprostszym układem jest kratownica trójkątna zbudowana z trzech prętów o końcach połączonych ze sobą w przegubach A, B i C. Przeguby te nazywać będziemy węzłami. Kratownica trójkątna składa się z trzech prętów połączonych w trzech węzłach.
Aby utworzyć nowy węzeł np. oznaczony literka D, należy dodać dwa pręty BD i CD. Podobnie dla utworzenia węzła E potrzebne są jeszcze dwa nowe pręty. Z powyższego wynika następujący związek miedzy liczba prętów p a liczba węzłów w w kratownicy płaskiej, który musi być spełniony, aby kratownica ta była niezmienna geometrycznie, czyli inaczej sztywna w swej płaszczyźnie:
p = 2w-3
Na rysunku a przedstawiona jest kratownica z budowana z pięciu prętów połączonych w czterech węzłach A, B, C, D. Podstawiając do warunku p=5 i w=4 stwierdzamy ze warunek jest spełniony. Jeżeli jednak miedzy węzłami B i D wstawiamy dodatkowy szósty pręt rys b, to liczba prętów w kratownicy będzie większa od tej która wynika z warunku sztywności.
Na rysunku c przedstawiony jest wreszcie układ dla którego warunek sztywności nie jest spełniony ( mamy tu
p = 4 < 2w - 3 = 5). Układ może zmienić swój kształt geometryczny. Wyprowadzono wyżej warunek sztywności jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym.
25. METODY WYZNACZANIA SIL W KRATOWNICACH
Istnieje wiele metod wyznaczania sil wewnętrznych w prętach kratownic. Do najczęściej stosowanych należą:
1. Metoda analityczna równoważenie się węzłów. Zastosowanie tej metody obliczenie sil w prętach polega na rozpatrzeniu równowagi każdego węzła kratownicy. Każdy węzeł jest obciążony płaskim zbieżnym układem sil dla którego możemy napisać dwa równania równowagi (sumy rzutów na przyjęte osie płaskiego układu współrzędnych )
2. Plan sily Cremony. Jest metodą wykreślną którą stosujemy do wyznaczania sił we wszystkich prętach kratownicy. W tym celu budujemy kolejno dla poszczególnych węzłów wieloboki sił , rozpoczynając konstrukcje planu sil dla każdego węzła w których są połączone dwa pręty. Przechodząc kolejno do następnych węzłów o dwóch nieznanych siłach, określamy wartości sil we wszystkich prętach kratownicy.
3.Analityczna metoda przecięć ( metoda Rittera ). W praktycznych rozwiązaniach konstrukcyjnych występują kratownice statycznie wyznaczalne, które nie mogą być rozwiązane za pomocą planu sił Cermony. Są to kratownice, w których nie ma ani jednego węzła, od którego można rozpocząć wykreślanie planu sił. W takim przypadku stosujemy metodę Rittera, która służy do obliczania sił wewnętrznych w trzech prętach, których osie nie przecinają się w jednym punkcie i nie są równolegle.