Akademia Polonijna
Polonia University

Tel : [phone], fax: [phone]

E-mail : [e-mail], www.ap.edu.pl

Rok akademicki : 2014/2015

Nazwisko i imię : Francuz Ilona

Semestr : II

Program studiów : EM/14/03/14

Nr albumu : 13887/2014

TEMAT PROJEKTU :

Zasady prognozowania ekonometrycznego (założenia i reguła prognozowania, prognoza nieobciążona z modelu jednorównaniowego,
ex ante, ex post, błędy prognozy).

Częstochowa 2015

Tematem mojego projektu są Zasady prognozowania ekonometrycznego (założenia
i reguła prognozowania, prognoza nieobciążona z modelu jednorównaniowego, ex ante,
ex post, błędy prognozy). Aby przyjrzeć się temu zagadnieniu, należy sprecyzować, czym jest prognozowanie ekonometryczne i w jakim celu go stosujemy.

Paweł Strawiński podaje :

W ekonometrii predykcją nazywamy wnioskowanie przeprowadzone na podstawie Klasycznego Modelu Regresji Liniowej. Możemy tego dokonać niezależnie od tego czy wartości zmiennych objaśniających pochodzą z próby na podstawie której szacowaliśmy model, czy są to wartości spoza tej próby .

Inne źródło zaś :

Predykcja ( prognozowanie ) jest to racjonalne, naukowe przewidywanie przyszłych zdarzeń. Jest to wybór, w ramach danego układu, najbardziej prawdopodobnej drogi rozwoju wyróżnionego zdarzenia lub zjawiska w nadchodzącym okresie czasu, gdzie podstawę tego wyboru stanowi dotychczasowy przebieg tego zjawiska i aktualny stan tego układu.

Predykcja ( łac. prædictus, im. od prædicere, „przepowiadać”, od præ-, „przed wcześniej, pra-„ i dicere, „mówić” ) lub prognozowanie ( późnołac. prognosis, od starogr. πρόγνωσις, nowogr. πρόγνωση prõgnosis, od προγτγνώσκετν progignõskein, „wiedzieć wcześniej”, od pro- „wcześniej, przed” i gignõskein, „dowiedzieć się” ) - naukowa metoda przewidywania tego, w jaki sposób będą kształtowały się w przyszłości procesy i zdarzenia.
W trakcie procesu predykcji ( prognozowania ) formułuje się sąd na temat przyszłych stanów zjawisk i zdarzeń nazywany prognozą .

Wnioskując prognozowanie ekonometryczne, to badanie za pomocą narzędzi jakimi
są modele ekonometryczne. Z czego każdy model ekonometryczny spełnia pewną rolę, mianowicie omawia ilościowe zależności zachodzące pomiędzy zmiennymi w przeszłości. Dane empiryczne zdobyte uprzednio stanowią zatem bazę do oszacowania parametrów strukturalnych i parametrów rozkładu składnika losowego.
Jeśli jednak model ekonometryczny spełnia z góry określone wytyczne, to może stanowić podstawę procesu wnioskowania o przyszłych realizacjach zmiennych objaśnianych przez ten system. Właśnie wtedy spotykamy się z predykcją ekonometryczną bądź też prognozowaniem ekonometrycznym. Jednakże, bardziej istotnym kierunkiem wykorzystania modeli ekonometrycznych w planowaniu stanowi tworzenie, czy też budowanie prognoz.
Proces prognozowania ekonometrycznego należy więc podzielić na etapy, na które składać się będą : model i prognozę właściwą.
Pierwszy etap ogranicza się do zbudowania modelu możliwie dokładnie aproksymującego ( Aproksymacja - proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Zazwyczaj aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi. Często stosowana w przypadku szukania rozwiązań dla danych uzyskanych metodami empirycznymi, które mogą być obarczone błędami ) kształtowanie się wybranej zmiennej socjoekonomicznej. Osądu własności predyktywnych dokonuje się za pomocą odpowiednich technik i miar statystycznych.
Drugi etap obejmuje czynności numeryczne, oparte na modelu wybranym w poprzednim etapie, sprowadzające się do wyznaczenia wartości prognozowanej zmiennej objaśnianej (prognozowanych zmiennych objaśnianych). Aby przeprowadzić owe czynności konieczne jest spełnienie podstawowych założeń teorii predykcji .

Prognozowaniem ekonometrycznym lub predykcją ekonometryczną nazywamy proces wnioskowania o przyszłych wartościach zmiennej endogenicznej na podstawie modelu wyjaśniającego kształtowanie się tej zmiennej. Skutek takiego procesu nazywamy prognozą. Definiujemy model ekonometryczny opisując wybraną zmienną endogeniczną. Stosowane do tego wyboru gromadzimy dane statystyczne, szacujemy parametry modelu, poddajemy go weryfikacji oraz badaniu stabilności. Ustalamy także wartości zmiennych egzogenicznych w okresie prognozy. Ostatnia z tych czynności bywa niekiedy skomplikowana. Jeśli nasze zadanie prognostyczne ma charakter makroekonomiczny, to wartości zmiennych egzogenicznych z okresu prognozy możemy poszukiwać w dokumentach organów rządowych bądź opracowaniach wielorakich instytucji zajmujących się analizą sytuacji gospodarczej
i społecznej. Wartości zmiennych egzogenicznych mogą być również prognozami uzyskanymi z innych modeli ekonometrycznych. Szczególnie przydatne są wtedy modele auto-regresyjne oraz modele trendu. Powoduje to, że prognozowanie na podstawie jednego modelu często przechodzi w system prognoz wzajemnie ze sobą powiązanych.

Podstawowe założenia teorii predykcji:

• znany jest przybliżony model ekonometryczny wyjaśniający kształtowanie się zmiennej, dla której budujemy prognozę;

• struktura opisywanych przez model zjawisk jest stabilna w czasie (nie zmienia się postać analityczna modelu, nie występują zmiany parametrów strukturalnych modelu oraz struktura powiązań przyczynowych jest stała w czasie → nie zmieni się zestaw przyczyn);

• znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym;

• rozkład składnika losowego nie ulega zmianom w czasie (jest stały);

• dopuszczalne jest wyznaczanie wartości funkcji poza przedziałem, w którym wartości tej funkcji są znane modelu poza obszarem zmienności zmiennych objaśniających obserwowanych w próbie

x ± S(x) - obszar zmienności

jeśli zmienne objaśniające przekraczają ten obszar to mamy do czynienia z modelem trendu.

Reguły predykcji :

• reguła podstawowa - prognoza postawiona na podstawie modelu, przy założeniu, że będzie on aktualny w prognozowanym okresie

• reguła podstawowe z poprawką - prognoza postawiona na podstawie modelu z poprawką uwzględniającą, że ostatnio zaobserwowane odchylenia od modelu utrzymają się w przyszłości

• reguła największego prawdopodobieństwa (dla zmiennych losowych, których rozkład prawdopodobieństwa jest znany) - prognozą jest wartość zmiennej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo dla zmiennych skokowych lub maksymalna wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennych ciągłych

• reguła minimalnej straty - przyjmuje się, że wielkość straty jest funkcją błędu prognozy i poszukuje się minimum tej funkcji. Prognozą jest wartość dla której ta funkcja przyjmuje minimum.

Zasadami predykcji nazywamy reguły zezwalające na wyznaczenie najlepszego
w danych warunkach przybliżenia przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej. Zasada predykcji określa sposób postępowania do budowy prognozy na podstawie modelu ekonometrycznego. Mamy dwie zasady predykcji: zasadę predykcji nieobciążonej oraz zasadę predykcji według największego prawdopodobieństwa.

Zasady predykcji nieobciążone polegają na tym, że prognozę wyznacza się na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej w okresie prognozowanym T.

t - dotyczy okresu próby

T - dotyczy okresu poza próbą (T = n+1, n+2, ..., n+h)

E(η_T) = 0

Tę zasadę stosuje się gdy proces predykcji jest powtarzalny, ponieważ wtedy popełniane błędy dodatnie i ujemne równoważą się tak, że proces predykcji ani nie zawyża ani nie zaniża przyszłych realizacji zmiennej prognozowanej.

Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa polega na wyznaczeniu prognozy na poziomie równym modalnej (dominancie) rozkładu zmiennej prognozowanej.

y_Tp = M_T(Y)

Trzeba znać rozkład zmiennej prognozowanej i wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmienna skokową to prognozą jest taka wartość zmiennej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji w okresie T. Jeżeli zmienna jest ciągła to prognoza jest taka wartość zmiennej, której odpowiada maksimum funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

Obie zasady dają te same wyniki (prognozy), gdy rozkład zmiennej prognozowanej jest co najmniej symetryczny.
Niezawiśle od zasady, jaką przyjmiemy można mówić o dwóch rodzajach predykcji:

• punktowej

Polegającej na wyznaczeniu konkretnej wartości prognozy.

• przedziałowej

Polega na wyznaczeniu pewnego przedziału liczbowego, któremu można przypisać odpowiednio wysokie prawdopodobieństwo, że rzeczywista realizacja zmiennej prognozowanej znajdzie się w tym przedziale.

P{y_Tp  I_p} = 1 - α

Aby wyznaczyć prognozę przedziałową trzeba znać rozkład zmiennej prognozowanej. Czyni się założenie, że rozkład zmiennej prognozowanej jest normalny.

W przypadku predykcji przedziałowej bierze się pod uwagę dwie rzeczy:

• z góry przyjęte prawdopodobieństwo 1-α

• długość przedziału liczbowego I_p.

Współzależność między długością przedziału a wysokością prawdopodobieństwa jest odwrotna. Sytuację najbardziej korzystną mamy wtedy, gdy dla ustalonej długości przedziału mamy wyższe prawdopodobieństwo 1-α lub dla ustalonego prawdopodobieństwa 1-α przedział I_p jest krótszy.

Na skutek powyższej analizy tematu, czym jest prognozowanie ekonomiczne, jakie są zasady jego tworzenia, założenia główne i reguła, mianowicie ekstrapolacja, może swobodnie przejść do mierników dokładności predykcji.
Mierniki dokładności predykcji zbudowane na podstawie modelu ekonometrycznego, w tym również jednorównaniowego, prognozy można rozdzielić na dwie zasadnicze grupy: prognozy ex post oraz prognozy ex ante.

Prognozy ex post oparte są na znanych wartościach zmiennych objaśniających.
W momencie, gdy poznajemy zrealizowaną wartość zmiennej prognozowanej - prognoza ex post staje się prognozą wygasłą. Prognozy ex ante są natomiast oparte na nieznanych wartościach zmiennej objaśniającej lub zmiennych objaśniających. Te nieznane w momencie prognozowania wartości dotyczące okresu prognozowanego należy - w określony sposób - ustalić .

Ex post - błąd prognozy wyznaczony po upływie czasu, na który została ustalona prognoza, może dotyczyć jednej prognozy lub ciągu prognozy. Jest on wynikiem porównania przeszłych prognoz ze znanymi już prawdziwymi wartościami prognozowanych.

Służy do oceny trafności prognoz ilościowych. Jest różnicą pomiędzy realizacją zmiennej prognozowanej Y_t a postawioną prognozą y_t. Błąd prognozy wylicza się, gdy znane są rzeczywiste wielkości y_t zmiennej prognozowanej od postawionej prognozy.

- bezwzględny błąd prognozy ex post e_t = y_t - y*

- względny błąd prognozy ex post = (y_t - y_t^*)y_t

- średni względny błąd prognoz ex post

- średni kwadratowy błąd prognoz ex post

Ex ante - błąd prognozy określany przed upływem czasu, na który prognoza została ustalona. Jest on funkcją różnicy wartości prognozowanej i rzeczywistej. D_t = f ( y_t - y_t*)

Postać funkcji f zależy od metody prognozowania.

Ma na celu ukazanie (ocenę) zapotrzebowania na konkretne działanie przeprowadzone przed jego wdrożeniem.

Ocena ex-ante jako narzędzie szacowania ma szerokie zastosowanie w konstruowaniu m.in. polityki regionalnej państwa. Analizując mocne i słabe strony, szanse i zagrożenia danego regionu, gminy, czy miasta, ocena ex-ante jest podstawą do sformułowania wieloletniej strategii rozwoju.

Bezwzględny błąd prognozy ex ante:
, dla t >n.

Informuje jakich przeciętnych wahań zmiennej prognozowanej wokół jej wartości oczekiwanej można się spodziewać. Tak otrzymany błąd prognozy jest wyrażony w tych jednostkach miary co zmienna prognozowana. Jest on wystarczający do wyboru spośród kilku modeli tej zmiennej takiego modelu, który daje najlepszą prognozę, czyli ma najwyższą wartość prognostyczną.

Bezwzględny błąd prognozy ex ante: V = D_t / y_t^* * 100%

Pierwiastek z wariacji (klasyczna miar zmienności) prognozy. Błąd ten stosuje się do porównywania dokładności prognoz różnych zmiennych.

Jedną z zasadniczych własności predykcji ekonometrycznej jest nieobciążoność predykcji. Oznacza to, że w przypadku wielokrotnego wyznaczania prognozy danej zmiennej endogenicznej w takich samych warunkach błędy prognozy są wartościami losowymi
o średniej równej zero. Zatem w procesie prognozowania według zasady predykcji nieobciążonej nie występują błędy systematyczne in plus albo in minus. Interpretacja zasady predykcji nieobciążonej jest oczywista wszędzie tam, gdzie istnieje możliwość wykonywania dużej liczby prognoz równolegle w czasie.

Częściej prognoza ma charakter niepowtarzalny i jest wyznaczona w określonych warunkach dokładnie jeden raz w takiej sytuacji atrakcyjne staje się prognozowanie wg zasady największego prawdopodobieństwa. Praktyczna realizacja tej zasady polega na określeniu prognozowanej wartości zmiennej endogenicznej na poziomie dominaty rozkładu zmiennej prognozowanej. Często rozkład zmiennej prognozowanej nie jest znany, wobec tego predykcja wg zasady największego prawdopodobieństwa staje się niewykonalna .

Zasada predykcji nieobciążonej. Predykcja nieobciążona ma tę własność, że prognoza jest ustalana na poziomie równym nadziei matematycznej przewidywanej zmiennej endogenicznej przy założeniu, że spełnione są wszystkie warunki wyjściowe prognoz. Nieobciążoność predykcji oznacza, że w przypadku wielokrotnego powtarzania się procesu wnioskowania, w przyszłości błędy prognoz będą miały charakter losowy o średniej zero i nie będą występować błędy systematyczne.

Aby skupić się zna zjawisku błędu prognozy, należy skupić się wpierw na jego źródłach, genezie, pochodzeniu.

• Błąd estymacji modelu (oszacowane wartości wektora parametrów a ro+nia sie od oryginalnych wartości wektora ,).

• Błąd struktury stochastycznej modelu (oszacowane parametry rozkładu składnika losowego, w szczególności wariancja resztowa Se2 rożni się od wartości rzeczywistej -2).

• Błąd losowy (wartość składnika losowego w momencie prognozy jest różna od zera).

• Błąd specyfikacji modelu (zastosowano nieodpowiednia postać funkcji modelu lub nieodpowiedni zestaw zmiennych objaśniających).

• Błąd warunków endogenicznych (nastąpiło zakłócenie postaci modelu).

• Błąd warunków egzogenicznych (wartości - w przypadku ich szacowania - zmiennych objaśniających uwzględnione w prognozie różnią się od rzeczywistych).

• Błąd pomiaru .

Przeciętnie rzecz biorąc prognozy z wyprzedzeniem jednego kwartału przeszacowywały rzeczywiste poziomy inflacji w Polsce. Średnia arytmetyczna błędów prognoz (obciążenie) jest ujemna
. Ujemna jest również średnia arytmetyczna błędów procentowych. Wynosi ona
.

Wariancja prognoz jest nieco większa niż wariancja zmiennej prognozowanej. Średni błąd prognozy
oznacza, że średnio rzecz biorąc prognozy inflacji odchylały się in plus in minus od zaobserwowanych stóp inflacji o
punktów procentowych. Średni błąd prognoz z wyprzedzeniem jednego okresu stanowił 78,55% średniego poziomu prognoz.

Zakładając, że prognoza jest dopuszczalna wtedy, gdy
, na podstawie danych dowiemy się, że współczynnik sprawdzalności prognoz z wyprzedzeniem jednego okresu wynosi 46,67%, co określa częstość otrzymywania prognoz ex post charakteryzujących się błędem nie większym niż 0,5%.

Współczynnik korelacji pomiędzy realizacjami zmiennej prognozowanej i prognozami wynosi tylko
, co oznacza, że kierunki zmian zmiennej prognozowanej i prognoz nie były zgodne.

Błędy ex post :
Błędy prognozy ex post - statystyki używane do późniejszej oceny dokładności prognozowania; są one wynikami porównania przeszłych prognoz ze znanymi już prawdziwymi wartościami prognozowanych wielkości.

Bezwzględny błąd prognozy ex post w czasie
wynosi:

gdzie:

- realizacja zmiennej
w chwili
(wartość rzeczywista, zaobserwowana),

- prognoza zmiennej
w chwili
.

- liczba wyrazów w szeregu czasowym

Względny błąd ex post w chwili
wynosi:

Średni względny błąd prognozy ex post w okresie empirycznej weryfikacji:

,

gdzie okresem czasowym jest podział czasowy
.

Średni kwadratowy błąd prognozy ex post w okresie empirycznej weryfikacji:

Wskaźnik ten mierzy o ile odchylają się rzeczywiste relacje zmiennej prognozowanej od obliczonych prognoz. Systematyczne obliczenie tego wskaźnika daje cenne informacje o rzędzie dokładności sformułowanych prognoz. Szybki napływ informacji z danych empirycznych, pozwala na podstawie wartości omawianego wskaźnika, określić na ile jest jeszcze aktualny model będący podstawą prognozowania .

Wartość wskaźnika
jest porównywana z odchyleniem standardowym reszt modelu

Przyjmuje się, że jeśli
, wtedy wektor prognoz można uznać za zadowalający .

• 
  Błędy prognozy ex ante:
  Błędy prognozy ex ante są miarą dokładności prognoz statystycznych.
  Do wyznaczenia mierników ex ante wykorzystuje się najczęściej błędy predykcji tj.
  
  
  gdzie:

• 
  - zmienna losowa „możliwe realizacje zmiennej prognozowanej Y dla t > n,

• 
  - zmienna losowa „możliwe prognozy zmiennej prognozowanej Y dla t > n.
  

Rodzaje błędów ex ante dla predykcji punktowej

• Obciążenie predykcji.

E(Dt)

Jego wartość określa nam o ile średnio, wyliczone prognozy, będą przeszacowane/niedoszacowane.

dla:

E(Dt) > 0 - prognozy niedoszacowane

E(Dt) < 0 - prognozy przeszacowane

• Średni błąd predykcji

Wskazuje o ile średnio rzeczywiste wartości prognozowanej zmiennej będą się odchylać od wartości oszacowanych prognoz.

• Względny błąd predykcji

Wskazuje jaki procent obliczonej prognozy wynosi średni błąd predykcji.

• Rodzaje błędów ex ante dla predykcji przedziałowej

• Wiarygodność predykcji (prawdopodobieństwo spełnienia się prognozy) - oznacza procent trafnych prognoz przedziałowych.

• Precyzja predykcji(połowa długości przedziału predykcji
  ) - określa maksymalny błąd prognozy przedziałowej (przy danym poziomie wiarygodności γ).

• Względna precyzja predykcji wyznacza stosunek precyzji predykcji przedziałowej do prognozy punktowej.

Im krótszy przedział predykcji, tym użyteczniejsza prognoza .

Proces prognozowanie ekonometrycznego składa się z wielu czynników, jego zasady są nieirrelewantnym środkiem do tego aby badania zostały wykonane poprawnie. Kluczową kwestią jest stopniowa analiza, dzięki której prognoza dojdzie do skutku.

BIBLIOGRAFIA

1. Analiza rynku - prognozowanie, M. Mazurkiewicz, Wrocław 2012

2. Notatki do ćwiczeń z ekonometrii, P. Strawiński, Warszawa 2009

3. Metody numeryczne, Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Warszawa 1993,

4. Metody prognozowania: Jakość prognoz, S. Skoczypiec, Kraków 2012

5. Proces predykcji zdarzeń i zjawisk, w : Problemy techniki uzbrojenia, D. Ampuła, nr 2/2012, Zielonka 2012

6. Prognozowanie ekonomiczne teoria przykłady zadania, A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wanat, Warszawa 2003
7. Prognozowanie gospodarcze metody i zastosowania, red. Maria Cieślak, Warszawa 2004

8. Prognozowanie i Symulacja Rozwoju Przedsiębiorstw, A.Manikowski, Z. Tarapata, Warszawa 2002

9. Prognozowanie przewozów, modele, metody, przykłady, J. Żurowska, Kraków 2005

Źródła online

1. Prognozowanie i symulacje. Metody prognozowania, [online :] http://www.prognozowanie.info/prognozowanie-ekonometryczne/, dostęp : 28.04.2015

2. Metody prognozowania, [online :] http://www.ekonometria.com/ekonometria-prognozowanie.htm, dostęp : 29.04.2015

P. Strawiński, Notatki do ćwiczeń z ekonometrii, WUW, Warszawa 2009, s.57

J. Żurowska, Prognozowanie przewozów, modele, metody, przykłady, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2005, s.12

D. Ampuła, Proces predykcji zdarzeń i zjawisk, w : Problemy techniki uzbrojenia, nr 2/2012,
Zielonka 2012, s. 37

Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, Warszawa 1993, s.73

Prognozowanie i symulacje. Metody prognozowania, [online :] http://www.prognozowanie.info/prognozowanie-ekonometryczne/, dostęp : 28.04.2015

Ekstrapolacja - prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie. Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

M. Mazurkiewicz, Analiza rynku - prognozowanie, Wrocław 2012, s.17

• Mierniki dokładności predykcji ex post i ex ante, [online :] http://www.prognozowanie.info/ex-ante-post/, dostęp : 28.04.2015

Metody prognozowania, [online :] http://www.ekonometria.com/ekonometria-prognozowanie.htm, dostęp : 29.04.2015

S. Skoczypiec, Metody prognozowania: Jakość prognoz, Kraków 2012, s. 5

Prognozowanie gospodarcze metody i zastosowania, Warszawa 2004, red. Maria Cieślak, s. 48

A.Manikowski, Z. Tarapata, Prognozowanie i Symulacja Rozwoju Przedsiębiorstw, str. 70

A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wanat, Prognozowanie ekonomiczne teoria przykłady zadania, Warszawa 2003, s. 56-58

---