090(1)

co oznacza, że gdy x -* — co wykres funkcji ma asymptotę ukośną o równaniu y — 1.

VI.    Pochodna y' = +e^x, przy czym znak plus odpowiada wartościom x z przedziału (0,-foo), gdzie e^x— 1 > 0, a znak minus .wartościom x z przedziału (—oo,0), w którym e¹—1 < 0. Pochodna funkcji nigdzie nie równa się zeru i istnieje wszędzie, z wyjątkiem punktu a- = 0, który wobec tego jest punktem krytycznym. Na lewo od punktu krytycznego / = — e^x<0 — funkcja maleje, na prawo od niego y = e^x > 0 — funkcja rośnie. Oznacza to, że * = 0 jest punktem minimum; y_min = >'(0) = 0.

VII.    Druga pochodna /' = ±e^x, przy czym, podobnie jak dla pierwszej pochodnej, znak plus bierzemy, gdy x > 0, a znak minus, gdy x < 0. Pochodna ta nigdzie nie równa się zeru i istnieje wszędzie, z wyjątkiem punktu x = 0. Na lewo od tego punktu /' = —e^x < 0 — wykres funkcji jest wypukły, a na prawo y" = e^x > 0 — wykrer funkcji jest wklęsły. Zatem a- = 0 jest odciętą punktu przegięcia; odpowiadająca jej wartość rzędnej y(0) = 0.

Punkt przegięcia pokrywa się tu z punktem wykresu, gdzie rzędna przybiera wartość minimalną, a w którym istnieją dwie różne styczne jednostronne y = — x oraz y = a^-.

VIII.    Aby sporządzić wykres funkcji znajdujemy jeszcze kilka dodatkowych punktów wykresu, np.: (1; e—1), (— 1; 1— e~^l), (—2; 1—e^-2), oraz określamy współczynniki kątowe (czyli lewo- i prawostronną pochodną) w punkcie kątowym (0,0)

A'₁ = /_,(0)= -1, k_z = /₊)(0) = 1

Zgodnie z wynikami badania sporządzamy wykres funkcji (rys. 80).

0\

Rys. 80

394. y = .x³-l-3x²

Zbadać funkcje i sporządzić ich wykresy: 394. y = xⁱ+3x² 395. y — 16x(x-1)³

,2

_    x³

O 396. y = _x2__g

398. y = ^

²^_

x²+1

400. y — (x—3) j/jT

JC3

402. y — xe~ ² o 404. y = x—2arc tg.v 406*. y — arc sin jjc|

399. y = |/l — *³

401. y = 2(*+l)-3 Y(x+iy

403. y — sin* — cos x 405*. y — x— |sin*[

§ 10. Przybliżone rozwiązywanie równań

1)    Sposób graficzny rozwiązywania równań. Oddzielanie pierwiastków. Pierwiastki rzeczywiste rów nania f(x) — 0 są odciętymi punktów przecięcia się krzywej y — f(x) z osią Ox. Jeśli więc równaniu nadać postać rpi(x) — — <f2(x), to pierwiastkami rzeczywistymi będą odcięte punktów przecięcia się krzywych y = ą, (.v) i y — <p₂(x).

Korzystając z tego, jak pokazaliśmy przy rozwiązywaniu zad. 16, można znajdować przybliżone wartości pierwiastków rzeczywistych dla równań algebraicznych i przestępnych przez sporządzenie wykresów odpowiednich krzywych.

Sposób ten prow adzi jednak do bardzo ogólnego oszacowania przybliżonych wartości pierwiastków równania i nie nadaje się do dokładnych obliczeń.

Dlatego sposób graficzny znajdowania pierwiastków jest stosowany zwykle jako narzędzie pomocnicze dla określenia ilości pierwiastków rzeczywistych i ich oddzielenia, przez co rozumiemy znalezienie takich przedziałów na osi Ox, aby w każdym z nich zawierał się tylko jeden pierwiastek. Po oddzieleniu pierwiastków można je obliczać z dowolną, wymaganą dokładnością za pomocą metod analitycznych, z których kilka tu przedstawimy.

2)    Uściślanie wartości pierwiastka metodą siecznych i stycznych. Jeżeli w przedziale [a, b] funkcja f(x) jest ciągła, pochodna f'(x) tej funkcji ma stały znak oraz f(a) f(b) < 0, to wewnątrz tego przedziału znajduje się tylko jeden pierwiastek rzeczywisty funkcji /(.V), czyli równania f(x) — 0.

Jeżeli oprócz tego w przedziale tym także druga pochodna zachowuje swój znak, to można znaleźć nowy, węższy przedział, który zawiera pierwiastek, a którego końce a i i b\ wyznaczamy ze wzorów

eą = a--

(b—a)f(a)

m-m

—TrZS' ^bi = l³~

m

/'(£>

(*)

183