13014 img438 (2)

Asymptoty ukośne

Rozważmy funkcję, której wykres jest przedstawiony na poniższym rysunku:

to punkty wykresu leżą coraz bliżej prostej y = x. Podobnie jest w przypadku, gdy x dąży do -oo. Ponadto różnica pomiędzy wartościami funkcji / a wartościami funkcji g(x) = x jest coraz mniejsza i dąży do zera, jeśli x dąży do +oo (^>o). Wykażemy teraz, że tak jest rzeczywiście. Mamy

JiE, ('<*> -9^M)

X +

1000 sin x

= lim

X^~CO

1000 sin x

Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, można udowodnić, że ostatnia granica jest równa O (przeprowadź petne rozumowanie!). Analogicznie otrzymujemy równość lim (/(x) -g(x)j= O. Mamy więc potwierdzenie naszej hipo

tezy. Powiemy w takim wypadku, że prosta y = x jest asymptotą ukośną (obustronną) wykresu tej funkcji.

ft/y okazji stwierdzamy też, że wykres funkcji może mieć punkty wspólne z je yn asymplotą ukośną.

hidnbnle można też wykazać, że prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną obu-llronną wykresu funkcji f(x) = —    ^—. Przyjmując bowiem g(x) = x + 1,

marny

lim

X > - 00

(/W -g(x)) =Jirn

x² + 4x +1 x + 3

-(*+ 1)

= lim

X—►—oo

(x^2 + 4x +1)—(x + 1)(x + 3)		-2
x + 3	X->-00	x + 3 _

Podobnie lim |/(x) ~g{x) j = O, co kończy dowód. Wykres funkcji i asymptoty wykresu przedstawia rysunek: