25,26

Pewne rozkłady prawdopodobieństwa typu skokowego

Rozkład dwupunktowy

Def. Powiedzmy, że zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli jej zbiór wartości W={x1 ,x2} oraz

(14)    P(X=x1 )=p>0, p(X=x2)=q>0 + p+q=1.

Szczególnym przypadkiem jest tu szeroko wykorzystywany w badaniach statystycznych np. wielkości produkcji rozkład zero-jedynkowy, tzn. taki, że W={0,1}

Rozkład geometryczny

Def. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny o parametrze p, p e(0,1), gdy W={1,2, ...} oraz

(15)    P(X=k)=p q^k'¹, dla k=1,2, ... ,q=1-p.

Zastosowanie rozkładu. Wykonujemy ciąg doświadczeń niezależnych. W wyniku doświadczenia może pojawić się sukces ze stałym prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeniu. Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartości równe liczbie przeprowadzonych doświadczeń do pojawienia się pierwszego sukcesu.

Przykład 7. Prawdopodobieństwo awarii aparatury doświadczalnej w jednym doświadczeniu wynosi p=0,02. Doświadczenie można przeprowadzać dowolną liczbę razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pierwsza awaria:

a)    zdarzy się dokładnie w 10 doświadczeniu,

b)    zdarzy się najpóźniej w 10 doświadczeniu,

c)    nie zdarzy się w pierwszych 10 doświadczeniach, przy założeniu, że doświadczenia są niezależne.

Rozwiązanie. Niech X oznacza liczbę doświadczeń, które trzeba będzie przeprowadzić. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p=0,02, czyli P(X=k)=0,02(0,98)^k‘¹ dla k=1,2,...

a) Szukane prawdopodobieństwo otrzymujemy z ostatniego wzoru podstawiając tam k=10

P(X=10)=0,02'(0,98)⁹ =0,019

Postawione polecenie jest pytaniem o prawdopodobieństwo zdarzenia: zmienna losowa X przyjmie wartość z przedziału <1,10>, zatem

10

P(1 < X < 10) = £(0,02)• (0,98)^M = 0,02 + 0,02• £(0,98)* =

k=1

k=l

f

= 0,02

1 + 0,98

v

1 — (0,98)

0,02

9 \

= 0,183

Zdarzenie losowe opisane tym poleceniem oznacza, że zmienna losowa X przyjmie wartości 11 albo 12 albo 13 albo .... itd., a prawdopodobieństwo tedo zdarzenia otrzymamy z warunków:

P(X>11 )=1 -P(X<11 )=1 -P(X<10)=0,817

Rozkład Bernoulliego (dwumianowy)

Def. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego o parametrach pin, gdzie p e (0,1>, n e N, jeżeli W={0,1,2, ...,n} oraz

(16) P(X = k) =

K^kJ

k ~n-k

■p •q

dla k = 0,1,2,...,n,q = \~ p

Zastosowanie rozkładu. Jeżeli przeprowadzamy n doświadczeń niezależnych, o stałym prawdopodobieństwie sukcesu w każdym doświadczeniu, to liczba sukcesów spośród n doświadczeń jest zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego.

Przykład 8. Dla oceny jakości produkcji partie towaru poddaje się wyrywkowej kontroli. Z danej partii pobiera się bez zwrotu próbkę 10-elementową. Partia zostanie odrzucona, gdy w próbie znajdują się co najmniej 2 sztuki wadliwe. Obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia kontrolowanej partii, jeśli prawdopodobieństwo wyprodukowania sztuki wadliwej wynosi 0,01.

Rozwiązanie. Jeśli zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie sztuk wadliwych spośród 10 wylosowanych do kontroli to dla przyjęcia partii musi zachodzić zdarzenie (X<2). Ale P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) zatem

P(X < 2) =

'10'

v0.

(0,04)° (0,96)'” +

10

(0.04)¹ (0,96)⁹ = 0,94

26