269 (8)

10.2.2. Równania i nierówności wykładnicze

jjnSwno równanie, jak i nierówność (nie tylko wykładnicze) we wstępnym etapie rozwiązujemy, wykonuje same przekształcenia (por. 3.1.3., 3.2.2., 3.6.6. i 3.8.2.).

₄|DHlnięj*- Równanie wykładnicze i nierówność wykładnicza ma niewiadomą usytuowaną w wykładniku potęgi (stąd pochodzi nazwa), na przykład 3* =    ’(/§)*'("§')

,\hpólna procedura rozwiązywania niektórych równań i nierówności wykładniczych: a) wyznaczenie dziedziny,

(2) sprowadzenie obu stron równania i nierówności do jednakowych (wspólnych) podstaw, rt) porównanie wykładników obu stron - po opuszczeniu wspólnych podstaw:

\y pnvpadku równania:

Pizyrównujemy same wykładniki (por. własność »lO,2.Ic.), otrzymując równanie wielomianowe |gb wymierne, które rozwiązujemy (por. 3.6.6. jjił.). Wybieramy z dziedziny równania wy-Uadniczego obliczone wartości niewiadomej (a) i formułujemy odpowiedź.

W przypadku nierówności:

Porównując same wykładniki: albo zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny, gdy podstawa a 6 (0; l), albo zachowujemy taki sam kierunek nierówności, gdy podstawa a€(l;+oo) (por. własność w 10.2. lf.).

Otrzymaną nierówność wielomianową lub wymierną rozwiązujemy wraz z ilustracją na osi liczbowej (por. 3.6.6. i 3.8.1.). Zbiór jej rozwiązań zawężamy do dziedziny nierówności wykładniczej; formułujemy odpowiedź.

.Układ równań lub nierówności wykładniczych to koniunkcja odpowiednio równań lub nierówności wykładniczych.

<1 Przykłady:

Równanie

Nierówność

wykiadnicze/wykładnicza

wyznaczenie dziedziny

2/    V3.

li

D =

, *⁼⁵-ł/ *

~⁵* ⁺ 6 = 0Axe D

M(*-3) = 0 ' *1= 2 € D_r 3 e D_r

2, *,= 3

sprowadzenie obu stron do wspólnych podstaw, porównanie wykładników po opuszczeniu podstaw, rozwiązywanie w wyznaczonej na początku dziedzinie

sformułowanie odpowiedzi

(zmiana kierunku nierówności)

(podstawa a = \ e (0; l)) -jc-f+ 5>0 ■~^x\^S"-⁶^oa x<=D„ x(-a:² + 5x- ó) > 0 -x(x - 2)(x- 3)>0 A a-eD_nr

10. FUNKCJE POTĘGOWE, WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE