273 (20)

272 Rozdział 5. Układy regulacji impulsowej

272 Rozdział 5. Układy regulacji impulsowej

t

■R-1-1-1-> ■ ■ H-

Ti 2Tj 3Ti 4Ti 5Ti

Rys. 5.31. Przebieg wielkości y(t)

Wstawiając kolejno wartości m z przedziału [0,1] otrzymujemy przebieg wielkości y (t) (rys. 5.31).

Najmniejszą wartością y będzie D (dla m = 1), a największą 1 (dla m — 0). Amplituda drgań wyniesie zatem 1 — D, a drgania będą miały kształt krzywych wykładniczych.

Zadanie 5.13

Zbadać stabilność przedstawionego na rys. 5.32 układu regulacji impulsowej. Znaleźć wartości wielkości wyjściowej y w chwilach impulsowania, przyjmując, że w₀ = 1 (t) oraz T, — T = 1 [s], ki = 1, k = 1 [1] . Założyć zerowe warunki początkowe w układzie.

Rys. 5.32. Schemat blokowy układu regulacji impulsowej z zadania 5.13

Rozwiązanie

Część ciągła ma transmitancję:

(1)

(s) = ^k(l7 ^e~’^T' ^W a⁷ {sT + 1)

Odpowiedź na impuls Diraca elementu o transmitancji Ki (a) =    ma postać:

Natomiast odpowiedź całej części ciągłej:

k (t) = ki (<) - fcj (t — Ti).    (3)

W celu znalezienia transmitancji dyskretnej układu dokonamy transformacji „z” na funkcji:

k(nT_i) = k[nTi-T(l-Dⁿ)]l(nT_i),    (4)

gdzie:

Zgodnie ze wzorem (11) z zad 5.1 oraz wzorem (3) z zad. 5.2 otrzymujemy:

TiZ _    (1 -D)z

Z \k_x (nT<)] = k

-T

L(z-l)² *(z-l)(z-D)J

Ponieważ:

(5)

(6)

więc stosując twierdzenie o przesunięciu uzyskuje się:

K (z) = fciZ [Jbi (nTj)] = ktk

Ti    1 -D'

z — 1    z — D

(7)

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma postać:

(z - 1) (z - D) + kik (z - D) - T (1 - D) (z - 1)] = 0, z² + z[-l - £) + kikT - kkT (1 -D)} + D- k_tkTD + hkT(1 - D) = 0.    (8)

Podstawiając z = oraz j4₀ = 1, Ai = — 1 — D + kikTD + kik (T ~ T),

Ai = D [1 - fcjfc (T + T)] + kikT otrzymuje się warunki stabilności w postaci:

A₀ + A\+ Ai > 0,

A.-A₃> 0,    (9)

A„ — Ai + Ai > 0,

czyli:

kikT (1 -D)> 0,

1    — D + kik [T (1 — D) - T_XD] > 0,

2    (1 + D) + kik [2T (1 - D) - T (1 + D)] > 0.

A zatem: