352 2

352

fi. Równania różniczkowe

Trzeba na koniec powiedzieć, że w zagadnieniach brzegowych, zagadnieniach w łaś w równaniach różniczkowych cząstkowych występują często wyrażenia różniczlw^^

postaci

(8.4.9)

d

7x'

Przybliża się je za pomocą wyrażeń (8.4.10)

K9-

Błąd globalny tego przybliżenia ma postać c₁(x)h²-\-c₃(x)h* +...

Dla układów równań rzędu pierwszego

(8.4.11)    /«/(*. y)

warunki brzegowe mogą być dane w postaci

(8.4.L2)    Ay(a)+By(b)=c,

gdzie A i B są macierzami kwadratowymi. Jeśli stosuje się metodę trapezów, czyli wzór

y** i - *•-1* (/(*». *•) +/(*.+1»y«+i>) •

to otrzymuje się układ nieliniowy o prostej budowie. Gdy nie ma żadnego naturalnego przybliżenia początkowego, zaleca się technikę zanurzania (§ 6.9.3). Do równania różniczkowego można wprowadzić parametr lub uznać długość kroku h z metody różnicowej za ten parametr - oznaczałoby to, że zaczyna się od bardzo rzadkiej siatki i ulepsza się stopniowo wyniki, używając np. poprzedniego rozwiązania i interpolacji do przybliżenia go na gęstszej siatce. Do zadania (8.4.11), (8.4.12) można też zastosować metodę strzałów} zob. § 8.4.2.

8.4.4. Przykład numeryczny zagadnienia własnego

Przykład 8.4.2. Stawiamy pytanie: dla jakich wartości A zagadnienie własne (8.4.13)    >{0)=0.    >(l)=0

ma rozwiązania różne od ysO?

Ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego z (8.4.13) jest funkcja

y(x)“fl cos(x _V'X) + bsin (x _N/I).

Mamy	KO);	= 0=>a =0,
	y(l)=0=>v^//.=nn	(n-0. ±1. ±2. ...)
Stąd	A«i»V	(n= 1,2, ...)