68 (28)

III. Równanie postaci:    y'=f(ax+by+c), b*0

Podstawienie: v(x) = ax + by(x) + c sprowadza to równanie do równania o zmiennych rozdzielonych.

Przykład 7.

Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego: y'=x+y+7, y(0)=-3.

;

- Y-4	/ 7 )	11 X X ) V i'	^ Y £
v'~ 1	- X		\f " X
			/ ^f '
i cU Ć v	f/H //	c^11/ ( 7T< •	fły-l ^J1 y'e - 1 ~ i ~ Y ( ~ y ~ $\A •
r J V-i^Ą	~} rj \		-1
£a !(/	ytj - V ~4	Łv? 0

y - ~ Y' £

A.    /    ’ y £> f v' r y -r o "t ₍* ^

ą _f

Ał-o~ C'

/ '    (O

tg - c *

X    Ce^yf

y’^oi^    6 r y ₀ R .0 ’?Y^Ć /- y-ę

ł'=    _v/

IV. Równanie liniowe.

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci:

y'+p(x)y=g(x)

nazywamy równaniem liniowym pierwszego rzędu.

Jeśli g(x)=0, to równanie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym(albo uproszczonym). Będzie to wtedy równanie o zmiennych rozdzielonych.

1. Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne.

dy;

y' + p(x)y = 0 => ^ = -p(x)y =i{ -p(x)dx => ln|y| = -

Inlcl b y = ce^Wp(x)dx -RORJ

2. Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego wyznaczymy stosując M.U.S. (metodę uzmienniania stałej).

Przyjmujemy, że rozwiązanie ogólne ma postać: y(x) = c(x)e ^^p(x)dx Wstawiamy tę funkcję do równania.

68 MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki