DSC00862 (3)

Estymacja punktowa i przedziałowa 129

co oznacza, Ze wartość średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie wyników próby jest zawsze nie mniejsza od wartości najmniejszej i jednocześnie nie większa od wartości największej spośród tych, które stanowią próbę.

Wykazaliśmy na wstępie, Ze e(x) = E(X), sprawdźmy teraz, jaki związek zachodzi pomiędzy wariancjami i V(X). Otrzymujemy zatem:

-Yx_l--E(X)

i    n

y(x)=E[{x-E(X)Y]=E

I IV J

= -^£{[(^11E(X))+ (x₂ -E(X))+ ... + (x„-E(X)ff }

= E

(4.8)

Uwzględniając fakt, że kwadrat sumy n wyrażeń równy jest sumie kwadratów tych wyrażeń powiększonej o podwojoną sumę wszystkich iloczynów mieszanych tych wyrażeń, końcową formę zależności (4.8) sprowadzamy do postaci:

'(*) | -U jgE[X, - E(X)f +2^ E[X, - E{X)\Xj - £(*)] i    (4.9)

Pamiętamy jednak, że zmienne X, traktowane są jako zmienne niezależne, co powoduje, iż kowariancja (pkt 2.7.2) E\x_t — E(X)\Xj - £(Jf)] = 0. Stąd:

(4.io)

ale ponieważ:

E{[x_i-E{X)Y]=y{X)    (4.11)

to zależność (4.10) możemy przedstawić ostatecznie jako:

(4.12)

v{x)= -\-nV(X) = -V(X) n²    li