DSC07131 (6)

190

Całki nieoznaczone

Obliczymy teraz całkę

f z *dz    f dx f 2 dr    f dx

J (T^Tj* ~ J x-l⁺J (*-l)³ +J (*-

= in |x — l| —

* - 1    2(l - 1)3

+ C.

h) Wyrażenie podcałkowe jest ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Obliczenie całki przeprowadzimy w dwóch krokach. Najpierw przekształcimy licznik w ten sposób, aby uzyskać pochodną mianownika

f (7-2x)di f (2x + 4) — 11 ___f (2x + 4) dr . ,. f dx

J 3^ + 41+13 J i³+4x + 13    J x*+ 4x + 13 J x² + -li+13'

W pierwszej całce licznik jest pochodną mianownika, więc

W przypadku drugiej całki, sprowadzając mianownik do postaci kanonicznej, otrzymamy

■    -    V+te+ia-»((=±2)’ + i).    -il

f dx    _ r dx

_ 1 f 3 du

9 J u^a + 1

J z³ + 4x + 13 J (z + 2)² + ?

1 f dr

= jarctgu + C= iarctg^y^ + C7.

Ostatecznie całka ma postać

I-

£^J^ = -ln(*²+4*+13) + ^arctg^+C.

i) Aby uprościć obliczenia, przed rozkładem funkcji podcałkowej na ułamki proste, dokonamy podstawienia z³ = v. Wówczas otrzymamy

f z¹ dr 7 x® + 8

_ 1 r vdv

~ 2 J V³

Rozkład uzyskanej w ten sposób funkcji podcałkowej na ułamki proste ma postać

iii

__6

w* + 8 v + 2    v»-2v+4'

Obliczamy teraz csoboo całki obu składników rozkładu. Mamy

I

-\dv

l

^ = -_glnlu ₊ 2|₊C

Przykłady

łv₊i

f 6"⁺3 ■ _ 1 [ 2v + 4    lf f 2u-2

J tP-2v + 4    12./ u²-2v + 4    12 [7 ^*^+4*' +

HB

+ 1

= ln (v³ — 2v + 4) + ^ arc tg + C.

Wracając teraz do zmiennej x otrzymamy ostatecznie

/TO ⁼ -T2^ln (*^{2 + 2}) + ^^ln (^x< “ ^+⁴) ⁺l?^arcts^ⁱ+^e-

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

^d) lf'

• Przykład 7.6

Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:

sin z cos x

^b) J	r dx	^C) I	f (2sinx + 3cosx) dx
	1 l+sinx + cosx’		f sin^2 xcosx + 2cos^3x'
e) j	/■ cos^5 xdx 1 1 +sin^2x’	f) |	f tgxdx 1 tgx+4

Rozwiązanie

*)

f^-dx =

J sin x _/ sin x

- 1 f ^dt    1

2 J t- 1 "2

—    1 |n 1⁰⁰⁸¹ ~~ 1

2 ⁿ I COSI + 1

dt

-t²

f . siHĘ— dx »—*

J 1—COS²I dt 6= — »lnxdx

/tfr ⁼ 5^In|'"^l|"5^In|ł+1|+c

|+C = ln|tg||+C.

b)

/

dx_

1 +sinx + coś a:

	2dt
2dt. i j_ «ą	f ^m& -r
1 + 8 . .3
1 — i “ 1 + t*	i i+i+iJ+rr?

f 2dt _ [jL=\n\t + l\+C

] 2 + 2t ^— J 1 + t