DSCN1101

Rozwiązanie 2). Wskazówka. Rozwiązanie zadania polega na umiejętnym grupowaniu wyrazów. Oznaczając lewą stronę danej nierówności przez x mamy:

x = abcd(a + b + c + d)² — (ab — cd) (a^zcd — abc² — abd² + + b²cd) = abcd(a + b +c + d)² - (ab - cd) [cd(a² + b²) -— ab(c² 4- d²)].

Przekształcając dalej otrzymujemy x — [ab(c + d) + cd(a + by]² co daje, że dla każdego a, b, c, deR, jest x ^ 0.

Rozwiązanie drugie.Uwaga. Wymnażając i redukując wyrazy podobne po lewej stronie zauważamy, że można ją zastąpić wyrażeniem

(abc + adb + acd + bcd)².

1.14. Rozwiążemy zadanie w postaci ogólniejszej.

Niech n oznacza liczbę cyfr szukanej liczby.

Dla n = 1 mamy 0, a dla n = 2 mamy tylko 12.

Dla n ^ 3:

-    pierwszą cyfrą może być albo 1, albo 2,

-    ostatnią cyfrą może być albo 0, albo 2,

-    cyfry od drugiej do n — 2 mogą być dowolne, bowiem na miejsce n — 1 możemy zawsze wybrać spośród cyfr {0, 1, 2} dokładnie jedną taką cyfrę, aby liczba była podzielna przez 3.

Stąd mamy 4 • 3" “ ³ możliwości wyboru liczby «-cyfrowej podziel-nej przez sześć o cyfrach {0, 1, 2}

Liczb podzielnycb przez 6 i mniejszych od 10⁶ jest 2 + 4(3°+ 3* +3² + 3³) = 2 + 4-40= 162.

1.15. Wskazówka. Rozumując analogicznie jak w zadaniu 1.14 stwierdzamy, że liczb ^-cyfrowych (dla n = 2, 3, 4, ... 8) spełniających warunki zadania jest:

8

j (2• 3"“²) = 2(3° + 3¹ + ... + 3⁶) = 3⁷ — 1.

D - 2

Wśród liczb dziewięciocyfrowych spełniających warunki zadania są tylko te, które w rzędzie 10⁹ mają cyfrę 1. Takich liczb jest 3⁷. Liczbą jednocyfrową spełniającą warunki zadania jest 0.

Wobec tego wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest 1 + 3⁷ - 1 + 3⁷ = 4374.

1.16.    Każdą liczbę o n cyfrach możemy potraktować jako n-wyrazowy ciąg. Zgodnie z treścią zadania interesują nas ciągi n-wyrazowe, których wyrazy należą do zbioru dwuelementowego.

Ze zbioru 10-ciu cyfr możemy utworzyć K. j = 45 podzbiorów dwuelementowych.    ' '

Wśród nich jest 9 takich, że jednym z elementów jest cyfra 0

1)    Niech A = {c_lt c₂) będzie zbiorem złożonym z dwóch cyfr różnych od 0. Z cyfr zbioru A możemy utworzyć 2" liczb n-cyfrowych. Będą wśród nich 2 liczby zapisane za pomocą tylko jednej cyfry. Zatem liczb zapisanych za pomocą dwóch różnych cyfr będzie 2" — 2.

Ponieważ podzbiorów takich jak A jest 36, więc jest 36 (2" — 2) liczb n-cyfrowych zapisanych za pomocą dwóch różnych cyfr bez cyfry 0.

2)    Niech B—{c_x, 0} będzie zbiorem dwóch cyfr, z których dokładnie jedna jest zerem.

Z cyfr zbioru B możemy utworzyć T~¹ liczb spełniających warunki zadania, wśród których jedna będzie zapisana tylko za pomocą cyfry c_x.

Wobec tego liczb zapisanych za pomocą dwóch różnych cyfr zbioru B można utworzyć 9 • (2""¹ — 1).

Ostatecznie wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest: 36(2"-2) + 9(2"“¹ - 1) = 81 -2" “¹ -81.

1.17.    Liczb dwucyfrowych spełniających warunki zadania jest 20, a trzycyfrowych jest 63. Załóżmy teraz, że a jest liczbą n-cyfrową spełniającą warunki zadania, gdzie n> 3.

Wtedy liczbę a można przedstawić w postaci

a = a„ _! • 10" “ ¹ + a_n _ ₂ • 10" “ ² +... + a_x • 10 + a₀. przy czym a_le{c_l, c₂} dla i = 0, 1, 2,..., n - 1, zaś c_p c₂ są dwoma różnymi, lecz ustalonymi cyframi. Jeśli 4|a to musi zajść jeden z następujących trzech przypadków.

1° (lOfl! + a₀)e{12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 84, 92,96},

2° (10a_x + a₀)e{20, 40, 60, 80, 04, 08},

3° (lOfli +a₀)e{44,88,00}.

W przypadku 1° jest 16-2^{n_ 2} = 2" ^{+ 2} liczb spełniających warunki zadania.

59