3582316694

Rachunek różniczkowy

funkcji jednej zmiennej

Definicja. Zał. że /: (a,ń)    M, x_Q e (a/). Ilorazem różnicowym funkcji / w punkcie x₀

x-x_n

nazywamy odwzorowanie <p:(a,b)\ |x_Q} —> M określone równaniem <p(x) = - ^{y J} ' ⁰'

f’(x₀) = lim <p{x)= lim    - lim ⁺ ^nazywamy pochodną / w punkcie x₀;

-    •    *■h

^X» X-Xn

A—>0

_x ..    /(x)-/(x₀) f(x_a + h)-f{x_a)    ,    ,    ,

f_[x₀ j = hm ——-= hm ——---nazywamy pochodną lewostronną w punkcie x₀;

*-«a X ~ X„

h-*Q~

fi (^xo)⁼ lini    = lim ⁺ —fif°l nazywamy pochodną prawostronną w punkcie x₀.

*-Mo x- X„

h-*0^ł

Mówimy, że funkcja/jest różniczkowalna x₀, gdy /'(x) istnieje i jest skończona.

Mówimy, że funkcja/jest różniczkowalna na (a,b), gdy V / jest różniczkowalna w x₀.

je(a,6)

Mówimy, że funkcja/jest różniczkowalna na [a,i], gdy / jest różniczkowalna w x₀ e (a, b) oraz pochodne jednostronne w punktach a,b istnieją i są skończone.

Definicja. Zał. że /: (a,ń) -> M jest różniczkowalna. Funkcję, która każdemu punktowi x e (a,b) przyporządkowuje f'(x) nazywamy pochodną funkcji /.

Mówimy, że /: (a,b) -»® jest pochodną, jeśli istnieje    taka, że ^ /(*) = F'(x).

Twierdzenie. Jeżeli funkcja /: (a,A) -» ® jest różniczkowalna w x₀ e (a,ń), to / jest ciągła w x₀.

Twierdzenie. Jeżeli /, g: (a,b) -> ® są różniczkowalne wx₀ e {a,b). Wtedy:

(1) h = / + g jest funkcjąróżniczkowalną w x₀ i h’(x₀) = f{x₀)+ g'(*o);

(2) h = f - g jest funkcją różniczkowalną w x₀ i h'(x_a ) = /’(x₀) - g'(x₀);

(3)    h = fg jest funkcją różniczkowalną w x₀ i /i’(x₀)=/'(x₀)-g(x₀)+/(x₀)-g'(x₀);

f'(^xo)-8(x₀)-f(x₀)-g'(x₀)

(4) /z = — i g(x_Q) # 0 jest funkcją różniczkowalną w x₀ i /i'(x_Q) 8

Twierdzenie. Funkcja/ :(a,b) -» ® jest różniczkowalna w x₀ i f'{x) = c <=> istnieje <p: (a,b) —> taka, że #j(x_q)=0 i <p jest ciągła w x₀ oraz /(x)-= /(x₀) + c(x-x₀) + ^(x)(x-x₀).

Twierdzenie. Zał. że /:(a,£)^®, x₀e(a,ń), /(a,i)c (c,c?), g:(c,cf)->®, /jest różniczkowalna w x₀, a g w / (x₀). Wtedy h = g ° / jest różniczkowalna w x₀ oraz

= /'(*<>)• £'(/(*<>))•

Twierdzenie. Zał. że /: (a,6) -> ® jest różnowartościowa, ciągła i różniczkowalna w x₀ e (a,b), f(x₀) ź 0 . Wtedy f~' jest różniczkowalna w y_a = /(x₀) oraz (/"* (y₀)) = (/'(x₀ ))"^ł.

1