1636661217

Jarosław Wróblewski

Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy lim 6_n = 10.

193. Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica 3n² + 2-^n* + l

lim -

n² + 5 • yn⁷ + 7+7 • y/n⁵ + 5 istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.

Rozwiązanie:

Dzieląc licznik i mianownik danego wyrażenia przez n⁵^² otrzymujemy

lim -

° n² + 5 • yn⁷ + 7+7 • \/n⁴ + 5

- lim -

jn+s-ę/Jji + ńbi+T-s/i+ź '

Mianownik ostatniego wyrażenia dąży do 7 przy n —► oo, natomiast licznik ma granicę skończoną dodatnią dla k = 15 i granica licznika jest wtedy równa 2.

Odpowiedź: Przy fc = 15 granica jest równa 2/7.

Uwaga: Liczba k — 15 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania. Jednak zgodnie z poleceniem wystarczyło wskazać k, bez konieczności uzasadnienia, że takie k jest tylko jedno.

194. Obliczyć granicę lim

4n² + l    4n² + 2

4n² + 3

4n²+4

4n² + 6n

\n³+ \fn⁶ +1 n³ + \/n⁶ + 2 n³ + y/n⁶ +3 n³ + /n⁽ⁱ-\- 4 Rozwiązanie:

Dana pod znakiem granicy suma ma 6n składników i zapisuje się wzorem

³ + \/n⁶ + 6n

,    ^    4 n² + k

b_n = > -,

Szacowanie od góry daje 4n² + fc

E

k=

do

6n

E

:<E

4n² + 6n _ 6n (4n² + 6n)

_k=1 n³ + y/n⁶ + k _k=1n³ + \/n⁶ + 0 Szacując od dołu otrzymujemy

4 n² + fc    ^    4n²+0

2n³

E-±/ł tu    6n-4n²

—-. „    = —- = a„

■/rtv»'ts _fe=1n³ + vn⁶+6n n³ + vri⁶ + 6n

Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności

On < b_n < Cn ,

a ponadto

lim a,

24n³

°n³ + \/n⁶ + 6n 6n(4n² + 6n)

2n³

1 + \/l +6n^-5 = lim (l2+36n^_1) =12,

Lista 3

- 23 -

Strony 18-41