3226794620

10. WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE MACIERZY

Układ n równań liniowych (patrz str. 76) o n niewiadomych (xi.    x„) z niewiadomą liczbą X.

fanxt + a12x2 + •• • + cilnxn = Axx 1 a21x1 + a22x2 + •■ • + a2nxn = \x2 ...	^all ^al2 "* ^alil ^a21 ^a22 ^a2n	•	<N . X *	=	'A • x1' A ■ x2
U„i*i + an2x2 + ••• + a,mxn = Xxn	,^anl ^a7i2 ”■ ^ann _		■ ^xn -		,A-x„.

Postać macierzowa powyższego układu równań:    A-X = A.-X <s>    (A-X-E)-X = 0

Rozwiązanie niezerowe X równania macierzowego (A — X-E)X = 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy:    A-A-E = 0 o det (A-A-E )=0 o W(A) = 0.

Macierz kwadratowa A: A =

^all ^a12    ■** ^al n

^a21    ^a22    ■** ^a2n

^an 1 ^aix2

Macierz Ax (macierz A z niewiadomą X):

a

, macierz jednostkowa E:    E =

1    0    •••    0

0    1    •••    0

0    0    •••    1

n n

A* = A — A • E =

an	cil2	^aln		' 1	0 •••	0‘		^flil ” X.	^al2
^a21	^a22	^a2n	— A •	0	1 •••	0	=	^a21	a22 ~ X •••	^a2n
	^an2	^ann .		.0	0	1.		^anl	^arx2 -	“mi

czyli tzw. wielomian charakterystyczny macierzy A:

W(X) =    + b^r¹'¹ +- + b₁X+b₀ = det A_a = det(A — A ■ E)

więc: W(0) = b₀ = det A

Równanie charakterystyczne (wiekowe) macierzy A o niewiadomej A: det (A — A-E) = 0. które możemy również zapisać jako równanie algebraiczne /i-tego stopnia ze względu na X:

W(A) = 0    <£> (-l)ⁿXⁿ + b_n_₁Aⁿ-¹ + -+b₁ X + b₀ = 0

Wartość własna macierzy A - tzn. każdy niezerowy pierwiastek równania det (A-A-E) = 0. Wartości własne macierzy A są pierwiastkami równania charakterystycznego W(X) tej macierzy.

Równanie charakterystyczne macierzy A o elementach rzeczywistych może posiadać pierwiastki zespolone. Wszystkie wartości własne rzeczywistej macierzy symetrycznej są liczbami rzeczywistymi.

Wektor własny macierzy A. odpowiadający wartości własnej X tej macierzy - jest to każdy niezerowy wektor X = [Xj. x* .... x_n] spełniający równanie: A-X = XX.

Twierdzenie Cayleya i Hamiltona (uogólnione) ~ każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne. Wykorzystując tw. Cayleya i Hamiltona możemy łatwo wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A oraz dowolną potęgę tej macierzy - patrz przykład na następnej stronie.

W(A) = 0 o (-i)’^,Aⁿ + 6_n_₁A^n_1+-+6₁A + 5₀E = O /-A’¹

(- l)"A^n-1 + b_n- lA"'² + ■■■ + b₁ E + b₀ A^-1 = 0

Z)₀A^-1 = —[ (-l)"A^n_1 + 6,,-jA"^-2 +    + biE ]    /:b₀* 0

A’¹ = -d[ (- l)"A^n_1 + b^A""² + - -+b₁ E ]

Wyznacznik macierzy A det A, = det(A — A • E) =

^all “ X	a12	^aln
^a21	^a22 ~ X ”•	^a2n	= W(A)
	^an2	~ X

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-67-

w w w. matematyk a. s os no wiec.pl