079 2

156

IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

§ 9.4. Układ n równań — Wzory Cramera

157

Wy

y= — » skąd y = 1 ,

W,

z = — , skąd z = — 4 W

jud¹

tficii

a następnie

W_x

x = — , skąd x = — 1 , W

Jedynym rozwiązaniem układu (1) jest x= -1, y = 1, z=-4. Geometrycznie oz_n to, że trzy płaszczyzny dane równaniami (1) przecinają się w jednym punkcie (-1, ] ^

Zadanie 9.7. Rozwiązać układ równań

(1)    2x-y + 3z = 7,    3x+2y-5z = 4,    4x + 5y-13z = fc

i przedyskutować ze względu na parametr k.

Rozwiązanie. Obliczamy wyznacznik charakterystyczny układu

	2	-1	3
lk =	3	2	-5
	4	5	-13

= -52 + 45+20-24 + 50-39 = 0 .

Widzimy, że układ na pewno nie ma dokładnie jednego rozwiązania bez względu na to, jak wartości przyjmować będzie parametr k (trzy płaszczyzny dane równaniami (1) pry żar wartości parametru k nie przetną się w jednym punkcie). Obliczmy kolejno wartości v znaczników W_x, W_y, W.\ mamy

pitócmy następnie uwagę na prawe strony trzech równań układu:    = 7, P₂ = 4,

^ gdzie prawa strona trzeciego równania może przybierać różne wartości. Jeśli P₃ taką samą kombinacją liniową P_x i P₂, tzn. jeśli

P₃=2P₂-P_1>

_e’jj £=2-4-7, czyli k= 1, to trzecie równanie nie wnosi nic nowego do dwóch pierw-_równań, gdyż jest spełnione przez każdą trójkę liczb (x, y, z), która spełnia dwa ^sze równania, i dlatego może być odrzucone (skreślone). Przy k = 1 układ (1) trzech ^nań z trzema niewiadomymi jest równoważny dwom pierwszym równaniom, podobnie można obliczyć, że Z,! =2L₂— L₃ , P_t=2P₂-P₃, z czego wynika, żeukład(l) _{t r}ównoważny także układowi równań drugiego i trzeciego.

p_rzypadek ten w postaci ogólnej (układ m równań liniowych z n niewiadomymi) omó-»iony jest w § 9.6.

Przypadek b: Z# 1. Wówczas wszystkie trzy wyznaczniki W_x, W_y, W_z są różne jj zera, a układ jest sprzeczny.

W świetle rozważań przy rozpatrywaniu poprzedniego przypadku rozumiemy teraz, te tylko przy k= 1 trzecie równanie nie przeczy dwom pierwszym. Jeśli więc /c+1, to illad (1) nie posiada żadnych rozwiązań.

W_x=

7-1    3

4    2-5

k 5 -13

= — 182+60+5/c—ÓJc + 175 —52= — fc + 1 ,

§ 9.5. RÓWNANIE LINIOWE JEDNORODNE. UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH JEDNORODNYCH

W -

rr_y

W,=

2    7    3

3    4-5

4    k -13

2-17

3    2 4

4    5 k

= -104+9 -140-48 + 10k+273 = 19fc-19 = 19(k-l),

= 4/c + 105 —16 — 56 — 40 + 3/c = 7fe — 7 = 7 (Jc — 1).

Rozpatrzymy dwa przypadki:    ^

Przypadek a: k= 1. Wówczas wszystkie trzy wyznaczniki W_x, W_y, W, ^sa- ‘^l zeru. Zgodnie z teorią, w układzie tym co najmniej jedno równanie można odrzucą Wynik ten wyjaśnimy jeszcze inaczej. Łatwo sprawdzić, że lewa strona trzeciego nia powstaje z pomnożenia lewej strony drugiego równania przez 2 i odjęcia ⁰ manego wyniku lewej strony pierwszego równania układu. Oznaczając

L,=2x-y + 3z, L₂ = 3x+2y-5z, L₃ = 4x + 5y-l3z

mamy

2L₂-L₁ = 2(3x+2y-5z)-(2x-y+3z) = 4x+5y-13z=L₃ •

jylik'

Tak więc L₃ jest kombinacją liniową L, i L₂ i to jest właśnie przyczyną, z po"⁰ wyznacznik charakterystyczny układu (1) jest równy zeru.

Równanie liniowe postaci

^l5il)    a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx„ = 0 (n = l,2,...)

gwarny równaniem liniowym jednorodnym lub w skrócie równaniem jednorodnym.

Skrót ten nie jest dokładny, ponieważ są równania jednorodne stopnia wyższego . ^jei*^eil> ale takimi równaniami w niniejszej książce nie będziemy się zajmowali.

ktyWi;

•Die

■ "iście każde równanie jednorodne o dowolnej liczbie niewiadomych ma tzw. rozwiąże r o we

i

*1 = 0 >    *2 = 0,    ....    x„=0

*iz

:. „^PrZ^ ^n> * ^ma nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych, tzn. takich, w których

"•jrnn:

^JeJ jedna niewiadoma nie równa się zeru.

'ANie 9.8. Rozwiązać równanie

2x- 6y +3z=0 .

bo ^^W'4zanie. Oczywiście, że równanie to, jako jednorodne, ma rozwiązanie zerowe \    ² = 0. Ale równanie to ma również rozwiązania niezerowe. Łatwo je znajdzie-

'tyzi

^czając jedną z niewiadomych, np.

x = 3y —l,5z ;