084

166 IX. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe

oraz macierz kolumnową (o jednej kolumnie)

"V

b₂

Wśród macierzy kwadratowych rozróżniamy pewne ich rodzaje:

Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, której elementy położone $y. metrycznie względem przekątnej głównej są równe, czyli a_ik=a_ki (i,k= 1,2,..., ń). Na przy. kład

a    b    c    d

X / /

b    k    r    s

/X./

c    r    l    p

/ / X

d    s    p    m_

Macierzą diagonalną (lub przekątną) nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy położone poza przekątną główną są równe zeru, czyli a_ik = 0 przy i^k (i, k=1, 2, ..., n). Na przykład

~k 0 0'

0 l 0 0 0 m

W szczególności, macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, której elementy położone na przekątnej głównej są równe 1, czyli

^aik

-{i

dla i = k, 0 dla

(i, k= 1, 2,ri). Macierz jednostkową stopnia n oznacza się symbolem l„ lub po prostu I-Na przykład

10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1

Macierz jednostkową oznacza się też często (lub [<5_iŁ]), gdzie tzw. symbol & neckera 8_ik jest zdefiniowany wzorem

dla i = k, dla i#k.

Macierzą osobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik równa się zeru. tfa przykład macierze

1    2    5"

2    4 10 , -10 6

53 osobliwe, gdyż det A = 0 i det B = 0.

Natomiast macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera.

Dodawanie macierzy określa się tylko dla macierzy tego samego wymiaru. Sumę dwóch macierzy A = [«;*] i B = [b_tk] tego samego wymiaru n x m tworzymy w ten sposób, że dodajemy do siebie elementy o tych samych wskaźnikach wiersza i kolumny, tzn.

(9.7.1)    x_m + [6jj„xni ⁼ frZ/jt + b[ _x m.

Dodawanie macierzy tego samego wymiaru ma własność łączności, tzn.

A+(B+C) = (A + B)+C, oraz własność przemienności, tzn.

A+B=B+A.

Odejmowanie macierzy jest wykonalne również tylko dla macierzy tego samego wymiaru. Różnicę dwóch macierzy A = [a_l(i] i B = [6_it] określa się za pomocą wzoru

<⁹'⁷'²)    [«»]„x_m - [b_ik]_n    b_ik]_nxm.

Iloczyn liczby a przez macierz A = [a_ik] określamy jako macierz [aa_i)c], którą otrzymujemy z macierzy A przez pomnożenie każdego jej elementu przez liczbę a, tzn.

“ KJ = [«<»*]•

(9.7.3)

^Na przykład

	'-2	r		'-6	3‘
3-	4	-i	=	12	-3
	5	o_		15	0

_ Mnożenie macierzy przez macierz określa się tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierw-^cierzy J^est równa liczbie wierszy drugiej macierzy. Iloczynem macierzy A= [a,y] _h/ ^aru nxr przez macierz B = [b_jk] wymiaru rxm nazywamy macierz C = [c_ifc] wymiaru iloc- ^W    Cement c_ik położony w /-tym wierszu i k-tej kolumnie równy jest sumie

' ^Urriny drugiej macierzy, tzn.

r

^cik ^{= a}ii bik+a_i2 b_2k +... +a_irb_rk = Yj^aijbjk-

^^tei k °|^W °^P^ow'^e^^rL'^c^¹ elementów i-tego wiersza pierwszej macierzy przez elementy

^•7.4)

7=i

^Waga. Przy mnożeniu macierzy wygodnie jest stosować tzw. schemat Falka:

U