080

158 IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

podstawiając na y i z zupełnie dowolne i niezależne od siebie liczby otrzymujemy nies]^ czenie wiele rozwiązań równania jednorodnego (1). A oto przykłady kilku rozwiąż

y	0	0	-3	2	-1	i
2	0	4	0	4	3	2
X	0	—6	—9	0	-7,5	-2

Podobnie postępujemy, gdy liczba niewiadomych jest większa. Interpretacja geonietry_c?. na tego faktu jest niezmiernie prosta: równanie (1) jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez początek układu (stąd rozwiązanie zerowe), inne rozwiązania zaś tego równania są współrzędnymi x, y, z dowolnego punktu tej płaszczyzny.

Układ równań liniowych nazywamy układem liniowym jednorodnym, lub po prostu; układem jednorodnym, jeśli każde równanie układu jest liniowe jednorodne, tzn. jest postaci (9.5.1). W przypadku przeciwnym układ równań liniowych nazywamy układem liniowym niejednorodnym.

Każdy układ liniowy jednorodny z n niewiadomymi x_l,x_i, ...,x_K bez względu na liczbę równań i na liczbę niewiadomych ma rozwiązanie zerowe, tzn. składające się z samych zer:

(9.5.3)    *,=0, x₂ = 0,    .... x„ = 0.

Układy liniowe jednorodne mogą oprócz rozwiązania zerowego mieć również rozwiązania niezerowc.

Rozpatrzmy układ liniowy jednorodny n równań z n niewiadomymi

a_nx_l+a_l2x₂ + ...+a_lnx„=0,

<Ul*1 +^22*2 +.. +a2n** = 0,

(9.5.4)    '    ..................

0,1 *1 +0,2 *2 + • • • +a„„ x„ = 0 .

Zgodnie z powiedzianym przedtem, układ ten ma rozwiązanie zerowe (9.5.3). N^aM'^v'( się jednak pytanie, czy jest to jedyne rozwiązanie układu (9.5.4), tzn. czy układ taki mieć również rozwiązania niezerowe. Sprawę tę rozstrzygają twierdzenia (9.5.5) i (?• •

• * u 00

(9.5.5)    Jeżeli wyznacznik charakterystyczny W układu równań (9.5.4) jest rożny zera, to układ ten ma tylko rozwiązanie zerowe (9.5.3).

Zadanie 9.9. Rozwiązać układ równań liniowych jednorodnych

3x - y + 2z = O , 4* +2y - 5z = 0 , 2x —7y + Uz = 0.

Rozwiązanie. Obliczamy wyznacznik charakterystyczny W układu:

3

4

2

-1

2

-7

2

-5

11

= 66-56 + 10—8 —105—( — 44)= -49*0 .

^ _(Vi j_erdzenia (9.5.5) wynika, że jedynym rozwiązaniem układu (1) jest rozwiązanie zerowe, _{x =} 0. y = 0, z=0. Interpretacja geometryczna tego wyniku jest następująca: w układzie współrzędnych Oxyz każde z równań układu (1) przedstawia płaszczyznę przechodzącą rzez początek układu współrzędnych (0, 0, 0) i początek układu jest jedynym punktem wspólnym wszystkich trzech płaszczyzn.

(9 5 6) Jeżeli wyznacznik charakterystyczny W układu (9.5.4) n równań liniowych jednoro-faych z n niewiadomymi jest równy zeru, tzn. W=0, to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań w tym również rozwiązanie zerowe (9.5.3).

Zadanie 9. 10. Rozwiązać układ równań liniowych jednorodnych

3x+2_y — z = 0,

(1)    x + 3y — 4z = 0 ,

x-4y +7z = 0.

Rozwiązanie. Obliczamy wyznacznik charakterystyczny W tego układu:

3    2-1

W =

1    3 -4

1 -4    7

Wartość jego równa się zeru (co można wykazać stosując metodę Sarrusa albo zwrócić ™agę na to, że dodając do elementów trzeciego wiersza elementy drugiego wiersza pomnożonego przez 2 otrzymamy wyznacznik, którego trzeci wiersz jest identyczny z pierwszym wierszem). Ponieważ fV=0, więc na podstawie twierdzenia (9.5.6) wnioskujemy, układ (1) oprócz rozwiązania zerowego ma nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych. yznaczymy te rozwiązania.

badajmy, czy istnieje chociaż jeden minor wyznacznika W stopnia drugiego różny ^Zera- Taki minor istnieje, gdyż np. minor utworzony ze współczynników przy x i y "'óch pierwszych równaniach

3 2 1 3

= 9 —2=7/0.

Zati

a

^{em trzec}>e równanie (tj. nie zawierające elementów tego minora), możemy pominąć si_rori !^adomą z (przy której współczynniki nie weszły do minora) przenieść na prawą być V ^trakt°Wać jako parametr, tzn. jako wielkość wiadomą, której wartość może °żnie ustalona. Otrzymujemy następujący układ dwóch równań:

3x+2y= z,