075 2

148 IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

Bardzo ważne w zastosowaniach jest następujące twierdzenie:

(9.1.6) Dla danego wyznacznika sumy iloczynów elementów dowolnego wiersza kolumny) wyznacznika przez ich dopełnienia algebraiczne mają tę samą wartość:

n

£ a_ikA_ik=const    (/= 1, 2.....n).

*=i

Podamy obecnie ogólną definicję wyznacznika.

Przez wyznacznik stopnia n(n> 2) rozumiemy sumę iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne.

Niechaj dany będzie wyznacznik stopnia n:

*11	*12	.. aik .	• *ln
*21	*22	.. a2k .	• *2n
*il	*.2	•• *ft •	• &in
*nl	*1.2	•• ^ank •	■ *rm

= A.

(9.1.7)

Wypiszmy kilka rozwinięć tego wyznacznika:

1)    według elementów pierwszego wiersza:

n

A = a_llA_ll+a₁2A₁₂ + ...+a_lkA_lk + ...+a_lnA_ln= £ a_ijA_ij\

]=i

2)    według elementów /-tego wiersza:

n

A=a_tlA_n Ą-a_i2A_i2 +... +a_ikA_ik +... +a_tnA_in= £ a_tJA_ijy

j=i

gdzie i może być równe 1,2,

3)    według elementów pierwszej kolumny:

n

A = a₁₁A₁₁+a2iA_2l+..-+a_klA_kl+...+a_nlA„_l= £ a,,A_rl;

r= 1

4)    według elementów k-tej kolumny:

n

A = a_lkA_lk+^a2kA₂k + .-- +a_ikA_ik + ... +a„_kA„_k= £ a_rkA_rk,

r — 1

gdzie k może być równe 1,2,

Wszystkie te rozwinięcia prowadzą do tego samego wyniku.

Zadanie 9.1. Obliczyć wartość wyznacznika

5 3-1    2

W=

2 0    4    3

-3 6    2    0

4 0-5-2

Rozwiązanie. Najdogodniejsze rozwinięcie tego wyznacznika spośród ośmiu możli-(według każdego z czterech wierszy i każdej z czterech kolumn) będzie według ele-

_entów drugiej kolumny, bo występują tam dwa elementy równe zeru:

TF = 3-( —l)^l + 2	2 4 3 -3 2 0	+ 0-y422+6 •(—1)^3 + 2 •	5-1 2 2 4 3
	<N 1 wn 1		4-5-2

+0-A

42 •

wyznaczniki stopnia trzeciego obliczamy metodą Sarrusa (9.1.4); z pierwszego otrzy

mujemy

-8+45+0-24-0-24=-11,

_a z drugiego

-40-20 —12 —32+75-4 = —33 .

Tak więc W= -3(- 11) — 6• (— 33) = 33 +198=231.

Oczywiście, że wszystkie pozostałe rozwinięcia tego wyznacznika doprowadzą do lego samego wyniku.

§ 9.2. WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

Przy obliczaniu i stosowaniu wyznaczników przydatne są następujące twierdzenia:

(9.2.1)    Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika na miejsce jego kolumn i odwrotnie, bez zmiany ich porządku, nie zmienia wartości wyznacznika.

(9.2.2)    Przestawienie dwóch dowolnych wierszy (lub kolumn) zmienia wartość wyznacznika na przeciwną.

(9.2.3)    Jeżeli wyznacznik ma dwa wiersze (lub kolumny) identyczne, to jego wartość nóma się zeru.

(9.2.4)    Jeżeli wyznacznik ma jakiś wiersz (lub kolumnę) złożony z samych zer, to jego wartość równa się zeru.

^■2-5) Jeżeli wszystkie elementy dowolnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika pomno-iymy przez pewną liczbę, to wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez tę liczbę.

Jeżeli do elementów dowolnego wiersza (lub kolumny) dodamy albo odejmiemy. *■ elementy innego wiersza,

2- elementy innego wiersza pomnożone przez tę samą liczbę,

^ dowolną kombinację liniową(¹) innych wierszy (lub kolumn),

Wartość wyznacznika nie zmieni się.

^Qkeb ^^uma iloczynów elementów dowolnego wiersza {lub kolumny) przez dopełnienia ^a‘czne odpowiednich elementów innego wiersza (lub kolumny) równa się zeru.

^ ^°^mbinacją liniową wielkości a,, a₂, ..., a_m (mogą to być np. stałe, zmienne, funkcje) nazywamy ^en,e postaci

, A,

Ai^i-ł-A₂a₂-ł- •••

są liczbami nie równymi jednocześnie zeru.