076 2

150 IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

Przypominamy, że suma iloczynów elementów dowolnego wiersza (lub kolumny) p_r ich dopełnienia algebraiczne równa się wartości danego wyznacznika.

Tak więc dla wyznacznika (9.1.7) będzie

0/i A_kl +a_i2A_k2 + ... +a_jnA_k„ = ^

A

aijA_u+a₂JA_2l + ... +a_nJA

Zadanie 9.2. Obliczyć wartość wyznacznika

3    2-1-5

J^A

"'“lo

dla	i=k,
dla	i^k,
dla	j = l,
dla	j*l.

A=

4

7    6-3-7    12

-9-6    4    3    -2

4    3-2-2    1

5-2    6-3    4

Rozwiązanie. Bezpośrednie rozwijanie wyznacznika według elementów pewnego wiersza albo kolumny doprowadziłoby do pięciu wyznaczników stopnia czwartego. Starajmy się zastosować te własności wyznaczników, które spowodują powstanie zer w jakimi wierszu lub kolumnie.

Mnożąc elementy pierwszego wiersza przez 3 i odejmując od elementów drugiego wiersza otrzymujemy

-1 -5 0 8 4    3

-2 -2

3    2 -2 0 -9 -6

4    3

5-2    6-3

Następnie do trzeciego wiersza dodajmy podwojony czwarty wiersz

A =

-2

1

4

A =

3	2	-1	-5 4
-2	0	0	8 0
-1	0	0	-1 0
4	3	-2	-2 1
5	-2	6	-3 4

-4= -1 (-1)

Rozwińmy teraz otrzymany wyznacznik według elementów trzeciego wiersza; mamy

3 + 1

2	-1	-5 4		3	2	-1 4
0	0	8 0	+ (-l)(-l)^3 + 4-	-2	0	0 0
3	-2	-2 1		4	3	-2 1
-2	6	-3 4		5	-2	6 4

Z kolei rozwijamy pierwszy i drugi wyznacznik według elementów drugiego

wiet**³

	2-14		2-14
/4= —1 - 8 - (— l)^2 + 3	3 -2 1 -2 6 4	+ ( —2)^-(—1)^2 + 1 •	3 -2 1 -2 6 4

wyznaczniki stopnia trzeciego obliczamy metodą Sarrusa. Pierwszy z nich jest równy

-16+72+2-16-12 + 12 = 42,

_a drugi również 42. Ostatecznie więc

,4 = 8 -42+2-42 = 10-42 = 420.

§ 9.3. RÓWNANIE LINIOWE. UKŁAD DWÓCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA _niEwiadomymi

Równanie postaci

(9.3.1)    a₁x_l+a₂x₂+...+a_nx_n = b (n = 1,2,...)

nazywamy równaniem liniowym o n niewiadomych x₂, x₂, ...,x„.

Równanie liniowe o dwóch niewiadomych zapisuje się często w postaci równoważnej

(9.3.2)    Ax+By+C = 0.

Gdy A i B nie są jednocześnie równe zeru (tzn. ,4² + 5²>0), wykresem równania (9.3.2) na płaszczyźnie jest linia prosta, więc równanie (9.3.2) ma nieskończenie wiele rozwiązań, którymi są dowolne pary (x,y) współrzędnych punktów tej prostej. Gdy + =0 oraz 5=0, ale CV0, to równanie (9.3.2) nie ma rozwiązań (jest sprzeczne). Gdy + = 0, 5=0, C=0 otrzymujemy 0-x+0-y=0, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele (każda para liczb spełnia równanie).

Układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych ma postać

(9.3.3)

a₁x + b_ly=c₁, a₂x + b₂y = c₂.

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych oznaczamy przez W, zatem

Podobnie

oznaczamy wyznaczniki

a, b_t a₂ b₂

= W.

Cl	= WX,	Cj
c2 b2		a2 c2

■W_v,

ich tworzenia objaśnimy w zadaniu 9.3 (por. też § 9.4).

⁰24 zajść trzy przypadki:

za_D- ^r?yP^ad^ek 1:    0. Wtedy istnieje jedyne rozwiązanie układu (9.3.3), które można

^1Sać ^ postaci (por. też § 9.4):

(9.3 ^ ^    w    w