4130652421

2.1 Analiza matematyczna	SEMESTR I -HI
Wymagania:

Semestr I

Wykład:

•    Definicja metryki, przestrzeń R" , metryki w R", topologia przestrzeni metrycznej.

•    Ciągi w przestrzeni metrycznej; warunek Cauchy'ego przestrzeń metryczna zupełna.

•    Uzupełnienie wiadomości o ciągach liczbowych.

•    Szeregi liczbowe, kryteria zbieżności, szereg warunkowo i bezwzględnie zbieżny.

•    Norma w przestrzeni liniowej, normy w R" , przestrzeń Czebyszewa, przestrzeń Banacha, iloczyn skalarny, nierówność Schwarza, przestrzeń Hilberta, granica i ciągłość odwzorowań w prze-strzeniach metrycznych, własności odwzorowań ciągłych, jednostajna ciągłość.

•    Definicja różniczki, różniczki wyższych rzędów, twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego, de 1'Hospitala, Taylora.

•    Funkcja wektorowa, pochodna funkcji wektorowej i jej interpretacja, odwzorowanie z R" do R, pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, różniczki wyższych rzędów dla funkcji z R" do R.

•    Twierdzenie Taylora, ekstrema funkcji wielu zmiennych, funkcja uwikłana, ekstrema warunkowe.

•    Całka nieoznaczona, podstawowe metody całkowania.

•    Definicja miary i całki Lebesgue'a, definicja całki Riemanna, interpretacja całki Riemanna

•    Całka oznaczona, całka jako funkcja górnej granicy całkowania, związek całki oznaczonej z nieoznaczoną, zastosowanie całki oznaczonej.

Ćwiczenia:

•    Program ćwiczeń stanowi praktyczne uzupełnienie treści wykładów.

Semestr II

Wykład:

•    Definicja równania różniczkowego, zagadnienie Cauchy'ego, twierdzenie o istnieniu i jednozna-czności, równania różniczkowe I rzędu: o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne, liniowe, Bemoullego, równanie liniowe n-tego rzędu, metoda uzmienniania stałych i metoda przewidywań całek szczególnych, układy liniowe I rzędu.

•    Całki wielokrotne, twierdzenie Fubiniego, zmiana zmiennych w całce wielokrotnej, zastosowania całek wielokrotnych.

•    Przestrzenie funkcyjne, przestrzeń L² jako przykład przestrzeni Hilberta, przestrzeń L^p jako przykład przestrzeni Banacha.

•    Całka krzywoliniowa nieskierowana, całka powierzchniowa niezorientowana, całka krzywoliniowa skierowana, niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania, twierdzenie Greena-Riemanna, całka powierzchniowa zorientowana, twierdzenie Greena-Gaussa-Ostrogradskiego, twierdzenie Stokesa, elementy teorii pól wektorowych i skalarnych.