60483

Kartografia matematyczna Odwzorowanie Gaussa-Kriigera - skrót

I³    t*

y=/slnB-ł-ySinBcos^J B(1-w/)-ł-j ₅stn Bcos⁴ B(2 -t² ) -k..

Kąl zbieżności południków wyrażony w funkcji odległości od południka środkowego (z dokładnością 0.001" dla 1 = ±3.5°) wynosi:

(£]

r -(i-ł-r —rf -2z/^4) +

[i]

t (2-ł-Sr* -ł-3f^4)-t-...

Odwzorowanie sieczne charakteryzuje skala długości mona południku środkowym. Współrzędne    »y&a w

odwzorowaniu siecznym oblicza się z wzoru:

y*a =

zaś elementarna skala długości w dowolnym pimkcie będzie równa: m_łłrcł = m₀m_u>„

Współrzędne cediowane

Z wzorów na współrzędne x,y w odwzorowaniu Gaussa-Kriigera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w pimkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak. aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spehiiają współrzędne cechowane. Między współrzędnymi cechowanymi X,Y a współrzędnymi x,y w odwzorowaniu Gaussa-Kriigera (dla 3- i 6-stopniowych pasów) zachodzą następujące związki:

\X--x

] 1^?=    c₀⁺ -^y—10⁶[m]

gdzie:    c® = 500 000 m.

Lo = długość geodezyjna południka środkowego w [°],

/ - szerokość pasa odwzorowawczego w [°J (najczęściej 3° lub 6°), di =3° dla pasa 6-stopniowego i dl =0° dla pasa trzy-stopniowego

Zastosowanie odwzorowania Gaussa-Kriigera w Polsce

1. W 1920 r. wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Kriigera do obliczeń wyników triangulacji państwowej (układ współrzędnych „Borowa Góra"):

■ elipsoida Bessela.

Elementarne skale długości i pól

Odwzorowanie Gaussa-Kriigera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym pimkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej można ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego:

m = l+-^-_T(l + 77 ²) + _: ^y

2N‘

2AN*

lub

mm 1 +

V

2 R* 24 R‘

gdzie R - średni promieti krzywizny.

y² y⁴

Elementarną skalę pól obliczymy jako kwadrat skali m: p = 1 + -—h ——

R² 3 R⁴

Odwzorowanie Gaussa-Kriigera w położeniu siecznym

Odwzorowanie Gaussa-Kriigera często realizowane jest w położeniu siecznym, co oznacza, że powierzchnia walca przecina powierzchnię elipsoidy wzdłuż linii przebiegających w przybliżeniu południkowa Celem takiego postępowania jest zminimalizowanie zniekształceń:

■    wzdłuż linii przecięcia obu powierzchni zniekształcenia będą zerowe.

■    na obszarze między liniami przecięcia zniekształcenia będą mniejsze lecz ujemne (skurczenie) o maksymalnej wartości bezwzględnej na południku środkowym.

■    na pozostałym obszarze zniekształcenia będą mniejsze ale dodatnie, tym większe im większa będzie odległość od linii przecięcia.

2