65046

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IM

8. Funkcje (twierdzenia o funkcjach z pochodnymi)

I. Korzystając z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić podane nierówności

c) e* >ex, dla x> 1;

a) —— < ln(l + x)< x. dla x > 0: x+ 1

d) In — <b-a. dla 1 <a <b. b

b) e* >\ + x, dla .v>0:

2.    Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji

_w/ v *⁵    .    d) f(x)=x + s\nx:

a) /Cv)=y-y + 2;    ^

b)    /(.r)=.tln.t;    ^{1 2 3 4}

c)    f(x)=(x-3)Jx ;    0 f{x)=e'cosx.

3.    Korzystąjąc z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice

a) lim

«-*o

łn(l-f.y)

x

In ,v

*-*o* In sin x 2* - 2^2_j

b) lim

c) lim

-• <*-o^: ’

d) lim

H

;r-2an:tg.v ln(.v + l)-lnx ’

0 limf—]---V):

*-*⁰VJrsinjr x J

g)    lim.r**;

j-K>*

h)    lim(.t+l)yr.

e) lim

4.    Napisać wzór Taylora z resztą Lagrange'a dla podanej funkcji, wskazanego punktu oraz n

a)    /(*)=—,^ = 2. n = 3:    c) f(x) = xⁱ, jr₀ = -l.». = 2 ;

d) /(*)=—, x₀ = \,n = 2.

1

   f(x)=4x, jr₀ = l, n = 3:

2

5.    Napisać wzór Maclaurinn dla podanych funkcji z resztą R„

3

a)    f{x)=xe' :    c)/(.r)=sinA;;

4

b)    y(.v) = sinh-r;    ć) f(x)=cosx.