68181

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IM

6. Funkcje (pochodne funkcji, cz. I)

I. Korzystając z definicji zbadać, czy Istnieją pochodne podanych funkcji w Xo = 0

a) /M-44;

d) /{.v)=

X[xcos—, x *0.

■ . ,1 \ Jfsin—, x *0 b) /(*) =    *

0, .v = 0

c) f(x)-

_ I jr² sin—, **0

[0,

e)/M-M-

x =0

x = 0

2, Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji

a) /(v)=—, x*0:

b) /W=VI;

c) /(•*)=-,x*kx,keZ:

sin.r

d)    f{x)=e'\xe R:

e)    /W=-!-. **-1;

*+l

0 r(.r) = jc² -3-r:

g)    /U)=4\.retf;

h)    f(x)=s\nhx. xe R.

3. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach

a)    /(*)=(*+lX/3^, (-l,/(-l));

b)    f(x) = x\ (2./(2)):    d)    (V2./(V2));

c)    /(.v)=arcsin|, (l./(l));    _e) /(.r)= ln(.r²+ 4 (0,/(0)).

4. Obliczyć kąt, pod którym

a)    przecinają się wykresy funkcji y-e^xt y = e"^¹:

b)    wykres funkcji y =3 + 2sin.r przecina oś Oy.

5. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach

x^2 + X +1,	x £ 1
3x\	Jf0 = l^; x< 1
.rarctg—, X	AT*0 A Xo=0
0,	O II w

a)    fU)-fc:^X+l -0 = 1:    ^C)    -0=2:

d) /U)=|j:-^|sinA:. x₀ = x

b) f(x)

0 /U) = (arctg .r) • arctg -.

.r