82287

Lemat 2.2 Niech (Vn 6 A/*) O < a_fl < fc_fl oraz lim b_n = 0. Wtedy lim a_n = 0.

n—oo    n—oo

Dowód: Z założeń wynika, że

(Ve > 0)(3n,)(Vn > n_€) |6_n| < e

Ponieważ |a_n| < |6_n|, więc

(Ve > 0)(3w*)(Vn > n_e) |a„| < £ a to oznacza, że lim a_n = 0.

n—oc

9

Twierdzenie 2.3 (O trzech ciągach) Niech (Vn £ Nf)a_n < b_n < c„ oraz lim a_n = lim c_n = a . Wtedy lim b_n = a.

n—oc    n—oo    n—oc

Dowód: Z założeń i twierdzenia 2.1 mamy

(Vn € A^r) 0 < b_n - On < c„ - a„ oraz lim (c,, - a_n) = 0

n—oc

Z lematu 2.2 wynika, że lim (6„ - o„) = 0, czyli lim 6„ — lim a_n = a .

n—oc    n—oc    n—oo

9

Twierdzenie 2.4 Dane są dwa ciągi ograniczone {o,,} i {/»„}. przy czym Jiin_ a_n = 0.

Wtedy istnieje lim a_n b_n i lim a„ b_n = 0.

n—oo    n—oc

Przykład 2.2

smn! hm --

n—oc n + 1

= 0.

lim

n—oc

aretg n

~70~

= 0

Przykład 2.3 lim {/n = 1.

n—oc

Dow*ód: Oznaczmy b„ = </n - 1.

n = (l + 6n)ⁿ = l +

b

n

Tl

Poniew'aż b_n ^ 0 więc n > 1 -f Q)6* • Stąd

2 n

o

2n

n(n-l)    " V n(n-l)

Z twierdzenia o trzech ciągach lim b„ = 0. czyli lim y/ń = 1.

9

Przykład 2.4 (Va > 0) lim tfa = 1 .

n—oc

5