008

. IERDZENIE

Jeśli lim a_n — a, gdzie a G R oraz lim b_u — oo (lub lim b_n = —oo), to

n—>oo    n~*oo    n—* oo

Cbn

.im -— =0 (zakładamy, że b_n ^ 0 dla n 6 N₊).

-5C b_n

Ćwiczenie 4

Oblicz granicę.

a) lim

100

b)

n—>oo n²+5n

20n

n^o 6n⁴+n

lim

n—>oo

12n²

n²—n⁴

Przykład 3

Oblicz lim (an ■ bn). 77—9-00 a) a,, = n^3, bn =	lim (an ■ bv) = lim (		V - i)	= lim n^2 = 00
71	n—* 00	n-+oc		71—900
b) an = n^3, bn = ,	lim (a,, ■ bn ) = lim		(n^A •	| = lim — = 0
n	n—900	n—9oo		n—>oc U
37 2 c an = bn — -3,	lim (an • 671) = lim |		U ■ 4)	1 - lim 2 = 2
Ti'’	n >00	77,-900	V n^ó J	n—»oo
bn — ^ ,	granica ciągu (an • 6n		.) nie istnieje (uzasadnij)

Powyższe przykłady pokazują,, że gdy lim a_n = oo i lim 6_n = 0, to granica

7i >oc    n >oo

ciągu (a_n • b_n) może nie istnieć, natomiast gdy istnieje, nie możemy podać jej wartości bez szczegółowej analizy danego przykładu. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym [oo • 0]. Inne symbole nieoznaczone to między innymi: [oo — oo], [^] oraz [^].

ZADANIA

1. Oblicz granicę ciągu (a_n).

lOn c) a,_r

a) a-_n = n²

— /v>3

n^ó — 2 n + 1

e) a_n = 4ⁿ —6-2ⁿ —100

b) a_n -- n²

Oblicz granicę ciągu (a_n)

a)    ciji —

b)    a_n =

\    2?7,²-f-l

n^s — 1

2

d) a_n = 100n³ - 0,01n⁴ f) a_n = 3ⁿ + 4ⁿ - 12⁷

n⁴+2n—5

c) a_n

n²—n+3

2—n

3. Oblicz granicę ciągu (a_n). 4ⁿ — 1

n „ _ (2n+3)(3n-l)(4n+3) ^{j n}    (n—1)(1—n)

a) —

2ⁿ+6

b) a_n =

4—6ⁿ 4ⁿ—6

c) &_n —

4ⁿ—3 • 8ⁿ+2 2ⁿ+2

4.17. Obliczanie granic ciągów (2)    245