95908

(d) f(t) = e-l'l

funkcja parzysta, zatem

/(oj) = 2/e“'cas(ojł)dł = lim ^:

O    T—oc

^r(—cos(a>T) + a>sin(a;T)) ^    2

1 +u;²

1 +o;²

2

1 + u}²

(wykorzystaliśmy obl.pom. z przykładu (b))

_(e) f(ł) = / ^{sin< dla} W /W - | o _()la

X    X

funkcja nieparzysta, zatem /(oj) = — 2t /sin łsm(o;t)dt = —i /(cos((l — oj)t) — cos((l +u;)t)dt

o    o

= -i    dia _M /1

\    1 — u;    1 + u; J

ze wzoru 2 sin ar sin bx = cos (a — b)x — cos(a 4- 6)r

/(l) =    /(l -COs(2#))<ft = —ITT

o

/( —1) = —i/(cos(2f) — 1 )dt — in o

Przykłady do zadania 1.2:

Korzystając z własności transformaty Fouriera wyznaczyć g(us) dla podanej funkcji g(t):

(»)

9(t) = |

3 + 2sin/ dla |/| < tt

Mamy g(t) = 3fi(t) + 2f2(t), gdzie f\. /2 to funkcje odpowiednio z przykładów 1.1 (c) i (e). Zatem g(oj) = 3/i(u>) + 2/2(0;) =

2sin(u/7r)		dla oj ^ 0	J		sin((l — u;)tt) sin((l + w)jt)\ 1 — OJ 1 + OJ )
2-		dla u; = 0		I 7^,ff
			I	L i~
/1	dla	1* - 4| < TT
l°	dla	\t — 4| > 3T
■ s(<) =	= f(t	- 4), gdzie j	f to funkcja		z przykładu 1.1 (c)
1 Ś(“>)	= /(w)e^-^4> = 1		’ 2sin(o;7r) -c OJ..		dla u? 0
			2ne	-IW	dla oj = 0

dla o; = 1 dla o; = —1

/    / cin// 1 — .iW\ cm/ / 1 -i-

Mł*i

(b) (c) »(<) = e ^51,1

Zatem </(u;) = i/ (f) =

Mamy //(<) = /(5f), gdzie / to funkcja z przykładu 1.1 (d).

10

25 + w²

2